관리는 시스템의 최적 제어성을 보장합니다. 최적의 자동 제어 시스템. 다른 사전에 "최적 제어"가 무엇인지 확인

일반적으로 자동 시스템은 제어 개체와 이 개체를 제어하는 ​​장치 세트로 구성됩니다. 일반적으로 이 장치 세트에는 측정 장치, 증폭 및 변환 장치, 액추에이터가 포함됩니다. 이러한 장치를 하나의 링크(제어 장치)로 결합하면 시스템의 블록 다이어그램은 다음과 같습니다.

안에 자동 시스템제어 대상의 상태에 대한 정보는 측정 장치를 통해 제어 장치의 입력으로 제공됩니다. 이러한 시스템을 피드백 시스템 또는 폐쇄 시스템이라고 합니다. 제어 알고리즘에 이 정보가 없으면 시스템이 열려 있음을 나타냅니다. 언제든지 제어 객체의 상태를 설명하겠습니다. 변수
, 이를 시스템 좌표 또는 상태 변수라고 합니다. 좌표로 생각하면 편해요 - 차원 상태 벡터.

측정 장치는 물체의 상태에 대한 정보를 제공합니다. 벡터 측정을 기반으로 하는 경우
모든 좌표의 값을 찾을 수 있습니다
상태 벡터
이면 시스템은 완전히 관찰 가능하다고 합니다.

제어 장치는 제어 작업을 생성합니다.
. 이러한 제어 조치는 여러 가지가 있을 수 있습니다. - 차원 제어 벡터.

제어 장치의 입력은 기준 입력을 받습니다.
. 이 입력 작업은 개체의 상태에 대한 정보를 전달합니다. 제어 개체가 방해적인 영향을 받을 수 있습니다.
, 이는 부하 또는 외란을 나타냅니다. 물체의 좌표 측정은 일반적으로 약간의 오류가 발생하면서 수행됩니다.
, 또한 무작위입니다.

제어 장치의 임무는 이러한 제어 작업을 개발하는 것입니다.
따라서 자동 시스템 전체의 기능 품질이 어떤 의미에서는 최고가 될 것입니다.

관리 가능한 제어 개체를 고려해 보겠습니다. 즉, 상태 벡터는 그에 따라 제어 벡터를 변경함으로써 필요에 따라 변경될 수 있습니다. 우리는 객체가 완전히 관찰 가능하다고 가정합니다.

예를 들어, 항공기의 위치는 6개의 주 좌표로 특징지어집니다. 이것
- 질량 중심의 좌표,
- 질량 중심을 기준으로 항공기의 방향을 결정하는 오일러 각도. 항공기의 자세는 엘리베이터, 헤딩, 에일러론 및 추력 벡터링을 사용하여 변경할 수 있습니다. 따라서 제어 벡터는 다음과 같이 정의됩니다.

- 엘리베이터 편향 각도

- 잘

- 에일러론

- 견인력

상태 벡터
이 경우 다음과 같이 정의됩니다.

항공기가 주어진 초기 상태에서 전송되는 컨트롤을 선택하는 문제를 제기할 수 있습니다.
주어진 최종 상태로
와 함께 최소 비용연료 또는 최소 시간.

일반적으로 제어 작업과 제어 개체의 상태 좌표에 다양한 제한이 적용된다는 사실로 인해 기술적 문제를 해결하는 데 추가적인 복잡성이 발생합니다.

엘리베이터, 요, 에일러론의 각도에는 제한이 있습니다.

- 견인력 자체가 제한됩니다.

제어 객체와 그 파생물의 상태 좌표에는 허용되는 과부하와 관련된 제한 사항도 적용됩니다.

미분 방정식으로 설명되는 제어 개체를 고려해 보겠습니다.

(1)

또는 벡터 형식으로:

--객체 상태의 차원 벡터

-- 제어 동작의 차원 벡터

- 방정식 (1)의 우변의 함수

제어 벡터로
제한이 부과되면 그 값이 일부 폐쇄된 지역에 속한다고 가정합니다. 일부 -차원 공간. 즉 집행기능을 의미한다.
언제든지 해당 지역에 속합니다. (
).

예를 들어 제어 함수의 좌표가 부등식을 충족하는 경우:

그럼 그 지역 ~이다 -측정된 큐브.

조각별 연속 함수를 허용 가능한 제어라고 부르겠습니다.
, 매 순간의 가치 지역에 속해있습니다 , 그리고 첫 번째 종류의 불연속성을 가질 수 있습니다. 일부 최적 제어 문제에서도 조각별 연속 제어 클래스에서 솔루션을 얻을 수 있는 것으로 나타났습니다. 컨트롤을 선택하려면
시간과 시스템의 초기 상태의 함수로
제어 객체의 움직임을 고유하게 결정하는 , 방정식 시스템 (1)은 해당 영역에서 존재 정리 및 해의 고유성 조건을 충족해야 합니다.
. 이 영역에는 물체의 움직임에 대한 가능한 궤적과 가능한 제어 기능이 포함되어 있습니다.
. 변수의 범위가 볼록한 경우 솔루션의 존재와 고유성을 위해서는 다음 함수로 충분합니다.

. 모든 인수에서 연속적이었고 변수에 대해 연속적인 부분 도함수를 가졌습니다.

.

시스템 작동 품질을 특성화하는 기준으로 다음과 같은 형식의 기능이 선택됩니다.

(2)

기능으로는
우리는 그것이 모든 논증에서 연속이고 다음과 관련하여 연속 부분 도함수를 갖는다고 가정할 것입니다.

.

최적의 자동 제어 시스템을 설계하려면 연산 증폭기, 교란 및 마스터 영향, 연산 증폭기의 초기 및 최종 상태에 대한 완전한 정보가 필요합니다. 다음으로 최적성 기준을 선택해야 합니다. 시스템 품질 지표 중 하나가 이러한 기준으로 사용될 수 있습니다. 그러나 개별 품질 지표에 대한 요구 사항은 일반적으로 모순됩니다(예: 안정성 마진을 줄여 시스템의 정확도를 높이면 달성됩니다). 또한 최적의 시스템은 최소 가능한 오류특정 제어 작업을 수행할 때뿐만 아니라 시스템의 전체 작동 시간 동안에도 마찬가지입니다. 최적의 제어 문제에 대한 해결책은 시스템의 구조뿐만 아니라 구성 요소의 매개변수에도 의존한다는 점도 고려해야 합니다.

ACS의 최적 기능 달성은 주로 시간이 지남에 따라 제어가 수행되는 방식, 프로그램이 무엇인지 또는 제어 알고리즘.이와 관련하여 시스템의 최적성을 평가하기 위해 제어 프로세스의 전체 시간 동안 설계자가 관심을 갖는 시스템 품질 매개변수 값의 합으로 계산된 통합 기준이 사용됩니다.

채택된 최적성 기준에 따라 다음을 고려합니다. 다음 유형최적의 시스템.

1. 시스템, 성능에 최적이는 연산 증폭기를 한 상태에서 다른 상태로 전환하는 데 최소 시간을 제공합니다. 이 경우 최적성 기준은 다음과 같습니다.

여기서 /n과 /k는 제어 프로세스의 시작과 끝의 순간입니다.

이러한 시스템에서는 제어 프로세스 기간이 최소화됩니다. 가장 간단한 예는 기존의 모든 제한 사항을 고려하여 주어진 속도로 가속하는 데 최소 시간을 제공하는 엔진 제어 시스템입니다.

2. 시스템, 자원 소비 측면에서 최적, 이는 최소 기준을 보장합니다.

어디 에게- 비례 계수; 유(티)- 제어 동작.

이러한 엔진 관리 시스템은 예를 들어 전체 제어 기간 동안 최소한의 연료 소비를 보장합니다.

3. 시스템, 제어 손실 측면에서 최적(또는 정확도) e(f)가 동적 오류인 기준에 따라 최소 제어 오류를 제공합니다.

원칙적으로 최적의 자동 제어 시스템을 설계하는 문제는 모든 것을 열거하는 가장 간단한 방법으로 해결될 수 있습니다. 가능한 옵션. 물론 이 방법에는 높은 비용하지만 최신 컴퓨터에서는 어떤 경우에는 시간을 사용할 수 있습니다. 최적화 문제를 해결하기 위해 실제 시스템의 모든 한계를 고려할 수 있는 특수한 변형 계산 방법(최대 방법, 동적 프로그래밍 방법 등)이 개발되었습니다.

예를 들어, 공급되는 전압이 한계값(/lr)에 의해 제한되고 모터 자체가 2차 비주기 링크로 표현될 수 있는 경우 DC 전기 모터의 최적 속도 제어가 어떻게 되어야 하는지 생각해 보겠습니다. .13.9, ㅏ).

최대 방법을 사용하면 변화 법칙을 계산할 수 있습니다. 너(디),회전 속도까지 엔진 가속을 위한 최소 시간을 보장합니다(그림 13.9, 비).이 모터의 제어 프로세스는 두 가지 간격으로 구성되어야 하며 각 간격에서는 전압이 너(티)최대 허용 값을 취합니다(간격 0 - /,: 너(티)= +?/ ex, 간격 /| - / 2: 너(티)= -?/ pr)* 이러한 제어를 보장하려면 계전기 요소가 시스템에 포함되어야 합니다.

기존 시스템과 마찬가지로 최적의 시스템은 개방 루프, 폐쇄 루프 및 결합 시스템입니다. 연산 증폭기를 초기 상태에서 최종 상태로 전환하고 방해 영향에 독립적이거나 약하게 의존하는 최적 제어가 시간의 함수로 지정될 수 있는 경우 유= (/(/), 그런 다음 빌드합니다. 개방 루프 시스템프로그램 제어(그림 13.10, ㅏ).

허용된 최적성 기준의 극한값을 달성하도록 설계된 최적 프로그램 P는 PU 소프트웨어 장치에 내장되어 있습니다. 이 계획에 따라 관리가 수행됩니다.

쌀. 13.9.

ㅏ- 공통 제어 장치를 사용합니다. 비 - 2레벨 컨트롤러 포함

장치

쌀. 13.10. 최적의 시스템 구성: ㅏ- 열려 있는; 비- 결합

수치 제어 기계와 간단한 로봇을 사용하고 로켓을 궤도에 발사하는 등의 작업을 수행합니다.

가장 복잡하면서도 가장 발전된 기술은 다음과 같습니다. 결합된 최적 시스템(그림 13.10, 비).이러한 시스템에서 개방 루프는 주어진 프로그램에 따라 최적의 제어를 수행하고, 폐쇄 루프는 오류를 최소화하도록 최적화되어 출력 매개변수의 편차를 처리합니다. 외란 측정 로프 /*를 사용하면 시스템은 전체 구동 및 교란 영향 세트에 대해 불변하게 됩니다.

이러한 완벽한 제어 시스템을 구현하려면 모든 방해 요인을 정확하고 신속하게 측정해야 합니다. 그러나 이 가능성이 항상 가능한 것은 아닙니다. 훨씬 더 자주, 방해적인 영향에 대한 평균 통계 데이터만 알려져 있습니다. 많은 경우, 특히 원격 제어 시스템에서는 구동력조차 소음과 함께 시스템에 유입됩니다. 그리고 간섭은 일반적으로 무작위 과정이므로 합성만 가능합니다. 통계적으로 최적의 시스템.그러한 시스템은 다음 용도에 적합하지 않습니다. 각제어 프로세스의 특정 구현이지만 평균적으로 전체 구현 세트에 대해 가장 좋습니다.

통계적으로 최적인 시스템의 경우 평균 확률 추정치가 최적성 기준으로 사용됩니다. 예를 들어, 최소 오류에 최적화된 추적 시스템의 경우 지정된 값에서 출력 효과의 제곱 편차에 대한 수학적 기대치가 최적성에 대한 통계적 기준으로 사용됩니다. 변화:

다른 확률적 기준도 사용됩니다. 예를 들어, 표적의 존재 유무만이 중요한 표적 탐지 시스템에서는 잘못된 판단의 확률이 최적성 기준으로 사용된다. 로쉬:

어디 Rp ts는 목표를 놓칠 확률입니다. R LO- 잘못된 탐지 가능성.

계산된 최적 자동제어 시스템은 복잡성으로 인해 구현이 사실상 불가능한 경우가 많다. 일반적으로 입력 영향으로부터 고차 도함수의 정확한 값을 얻어야 하는데 이는 기술적으로 매우 어렵습니다. 종종 최적의 시스템을 이론적으로 정확하게 합성하는 것조차 불가능합니다. 그러나 최적 설계 방법을 사용하면 어느 정도 단순화되었지만 여전히 극단적인 수준에 가까운 허용된 최적성 기준의 값을 달성할 수 있는 준최적 시스템을 구축할 수 있습니다.

최적의 자동제어 시스템 구축의 정의와 필요성

자동 제어 시스템은 일반적으로 특정 품질 지표를 보장하기 위한 요구 사항을 기반으로 설계됩니다. 대부분의 경우 교정 장치를 사용하면 자동 제어 시스템의 동적 정확도를 높이고 과도 프로세스를 개선할 수 있습니다.

특히 충분한 기회품질 지표 개선은 마스터 또는 교란 영향에 대한 하나 또는 다른 오류 불변 조건으로부터 합성된 개방 루프 보상 채널 및 차동 연결을 ACS에 도입함으로써 달성됩니다. 그러나 ACS의 품질 지표에 대한 수정 장치, 개방형 보상 채널 및 등가 차동 연결의 효과는 시스템의 비선형 요소에 의한 신호 제한 수준에 따라 달라집니다. 일반적으로 지속 시간이 짧고 진폭이 중요한 미분 장치의 출력 신호는 시스템 요소로 제한되며 시스템 품질 지표, 특히 속도가 향상되지 않습니다. 최고 점수소위 최적 제어는 신호 제한이 있는 경우 자동 제어 시스템의 품질 지표를 높이는 문제에 대한 솔루션을 제공합니다.

최적 시스템을 합성하는 문제는 최적성 기준의 개념이 정의된 비교적 최근에 엄격하게 공식화되었습니다. 경영목적에 따라 다양한 기술적, 경제 지표통제된 프로세스. 최적의 시스템에서는 하나 이상의 기술 및 경제적 품질 지표가 약간 증가하는 것뿐만 아니라 가능한 최소 또는 최대 값의 달성이 보장됩니다.

최적성 기준이 기술적, 경제적 손실(시스템 오류, 전환 프로세스 시간, 에너지 소비, 자금, 비용 등)을 나타내는 경우 최적 제어는 최소 최적성 기준을 제공하는 제어가 됩니다. 수익성(효율성, 생산성, 이익, 미사일 범위 등)을 표현하는 경우 최적 제어는 최대 최적성 기준을 제공해야 합니다.

최적의 자동 제어 시스템을 결정하는 문제, 특히 마스터가 입력으로 수신될 때 시스템의 최적 매개변수를 합성하는 문제

고정된 랜덤 신호인 영향과 간섭은 Chapter. 7. 그 사실을 기억해 봅시다. 이 경우 RMSE(Root Mean Square Error)가 최적성 기준으로 채택되었습니다. 유용한 신호의 재생 정확도(영향 지정)를 높이고 간섭을 억제하기 위한 조건은 모순적이므로 표준 편차가 가장 작은 값을 취하는 (최적) 시스템 매개변수를 선택하는 작업이 발생합니다.

평균 제곱 최적성 기준을 사용하는 최적 시스템의 합성은 다음과 같습니다. 사적인 문제. 일반적인 방법최적 시스템의 합성은 변이 계산을 기반으로 합니다. 그러나 제한 사항을 고려해야 하는 현대의 실제 문제를 해결하기 위한 변분법의 고전적인 방법은 많은 경우 부적합한 것으로 판명되었습니다. 최적의 자동 제어 시스템을 합성하는 가장 편리한 방법은 Bellman의 동적 프로그래밍 방법과 Pontryagin의 최대 원리입니다.

따라서 자동 제어 시스템의 다양한 품질 지표를 개선하는 문제와 함께 하나 또는 다른 기술적, 경제적 품질 지표의 극한 가치가 달성되는 최적의 시스템을 구축하는 문제가 발생합니다.

최적의 자동 제어 시스템의 개발 및 구현은 생산 단위의 사용 효율성 증가, 노동 생산성 향상, 제품 품질 향상, 에너지, 연료, 원자재 절약 등에 도움이 됩니다.

물체의 위상 상태 및 위상 궤적에 대한 개념

기술에서는 제어된 객체(프로세스)를 한 상태에서 다른 상태로 이전하는 작업이 자주 발생합니다. 예를 들어 타겟팅할 때는 안테나가 필요합니다. 레이더 스테이션초기 방위각의 초기 위치에서 방위각의 지정된 위치로 회전합니다. 이를 위해 기어박스를 통해 안테나에 연결된 전기 모터에 제어 전압이 공급됩니다. 매 순간 안테나의 상태는 회전 각도와 각속도의 현재 값으로 특징지어집니다. 이 두 양은 제어 전압에 따라 달라집니다. 따라서 세 개의 상호 연결된 매개변수가 있습니다(그림 11.1).

안테나 상태를 특징 짓는 양을 위상 좌표라고하며 - 제어 동작. 표적이 총 유도 기지와 같은 레이더를 지정할 때 안테나를 방위각과 고도로 회전시키는 작업이 발생합니다. 이 경우 객체의 4개 위상 좌표와 2개의 제어 동작이 있습니다. 비행하는 항공기의 경우 6개의 위상 좌표(3개의 공간 좌표와 3개의 속도 구성 요소)와 여러 제어 동작(엔진 추력, 방향타 위치를 특성화하는 수량)을 고려할 수 있습니다.

쌀. 11.1. 하나의 제어 동작과 두 개의 위상 좌표가 있는 개체의 다이어그램.

쌀. 11.2. 제어 동작과 위상 좌표가 있는 개체의 다이어그램.

쌀. 11.3. 제어 작업의 벡터 이미지와 개체의 위상 상태가 포함된 개체의 다이어그램

고도와 방향, 에일러론). 일반적으로 매 순간마다 물체의 상태는 위상 좌표로 특징 지어지며 제어 조치가 물체에 적용될 수 있습니다 (그림 11.2).

제어 대상(프로세스)을 한 상태에서 다른 상태로 전환하는 것은 기계적 움직임(예: 레이더 안테나, 항공기)뿐만 아니라 다양한 측면에서 필요한 변경으로도 이해되어야 합니다. 물리량: 온도, 압력, 객실 습도, 화학적 구성 요소적절하게 통제된 기술 프로세스를 통해 하나 또는 다른 원자재를 가공합니다.

제어 동작을 제어 동작 벡터라고 하는 특정 벡터의 좌표로 간주하는 것이 편리합니다. 물체의 위상 좌표(상태 변수)는 좌표가 있는 특정 벡터나 점의 좌표로 간주할 수도 있으며, 이 점을 물체의 위상 상태(상태 벡터)라고 합니다. 위상 상태가 점으로 표시되는 것을 고려 대상 물체의 위상 공간(상태 공간)이라고 합니다. 벡터 이미지를 사용하는 경우 제어되는 객체는 그림 3과 같이 표시될 수 있습니다. 11.3에서 와 는 제어 동작 벡터이고 물체의 위상 상태를 특징짓는 위상 공간의 한 지점을 나타냅니다. 제어 동작의 영향으로 위상 점이 이동하여 물체의 고려된 움직임의 위상 궤적이라고 하는 위상 공간의 특정 선을 설명합니다.

최적 제어 문제는 극한 문제 이론, 즉 최대값과 최소값을 결정하는 문제와 관련이 있습니다. 이 문구에서 여러 라틴어 단어(최대 - 최대, 최소 - 최소, 극단 - 극단, 최적 - 최적)가 발견되었다는 사실은 극한 문제 이론이 고대부터 연구 주제였음을 나타냅니다. 아리스토텔레스(BC 384~322), 유클리드(BC 3세기), 아르키메데스(BC 287~212)는 이러한 문제 중 일부에 관해 글을 썼습니다. 전설은 카르타고(기원전 825년) 도시의 건국을 가능한 최대 면적의 그림을 둘러싸는 닫힌 평면 곡선을 결정하는 고대 문제와 연관시킵니다. 이러한 문제를 isoperimetric이라고 합니다.

극단적 문제의 특징은 그 공식이 사회 발전에 대한 현재의 요구에 의해 생성되었다는 것입니다. 게다가 17세기부터 지배적인 생각은 우리 주변 세계의 법칙이 특정한 변이 원리의 결과라는 것이었습니다. 첫 번째는 P. Fermat(1660)의 원리로, 한 지점에서 다른 지점으로 전파되는 빛의 궤적은 이 궤적을 따라 빛이 통과하는 시간이 최대한 짧아야 합니다. 그 후, 자연과학에서 널리 사용되는 다양한 변이 원리가 제안되었습니다. 예를 들어 U.R. 해밀턴(1834)은 가상 운동의 원리, 최소 강제의 원리 등을 제시하는 동시에 극한 문제를 해결하기 위한 방법도 개발했다. 1630년경에 페르마는 극단점에서 도함수가 0과 같다는 사실로 구성된 다항식의 극값을 연구하는 방법을 공식화했습니다. 일반적인 경우에 이 방법은 I. Newton(1671)과 G.V. 라이프니츠(Leibniz, 1684)의 탄생을 알리는 작품 수학적 분석. 고전적 변분학의 발전의 시작은 1696년 I. Bernoulli(라이프니츠의 학생)가 쓴 기사의 출현으로 거슬러 올라갑니다. 이 기사는 두 점 A와 B를 연결하는 곡선 문제의 공식화를 공식화했습니다. 중력의 영향으로 A 지점에서 B 지점으로 물질 지점이 가능한 가장 짧은 시간에 B 지점에 도달합니다.

18~19세기 고전적 변분학의 틀 내에서 1차 극한값에 대한 필요 조건이 확립되었고(L. Euler, J.L. Lagrange), 나중에 2차 필요 충분 조건이 개발되었습니다( K.T.V. Weierstrass, A.M. Legendre, K.G.Ya. Jacobi), Hamilton-Jacobi 이론 및 장 이론이 구성되었습니다(D. Gilbert, A. Kneser). 추가 개발극한 문제 이론은 20세기에 선형 프로그래밍, 볼록 분석, 수학적 프로그래밍, 미니맥스 이론 및 기타 분야의 탄생으로 이어졌으며 그 중 하나가 최적 제어 이론입니다.

극한 문제 이론의 다른 영역과 마찬가지로 이 이론은 40년대 후반 자동 제어의 현재 문제(광산의 엘리베이터를 제어하여 가능한 한 빨리 정지시키고, 로켓의 움직임을 제어하고, 전력을 안정화시키는 것)와 관련하여 발생했습니다. 수력 발전소 등). 최적의 제어 문제로 해석될 수 있는 개별 문제에 대한 설명은 예를 들어 I. Newton의 "자연 철학의 수학적 원리"(1687)에서 더 일찍 접했습니다. 여기에는 최소한의 연료 소비로 로켓을 주어진 높이까지 들어 올리는 R. Goddard(1919)의 문제와 로켓을 주어진 높이까지 들어 올리는 이중 문제도 포함됩니다. 최대 높이주어진 양의 연료에 대해. 지난 시간 동안 최적 제어 이론의 기본 원리인 최대 원리와 동적 프로그래밍 방법이 확립되었습니다.

이러한 원리는 복잡한 제어 제약 조건을 포함하는 문제 연구를 위한 고전적 변분학의 발전을 나타냅니다.

이제 최적 제어 이론은 한 시기를 거치고 있습니다. 급속 성장어렵고 흥미로운 수학적 문제가 존재하고 경제학, 생물학, 의학, 원자력 에너지등등

모든 최적 제어 문제는 수학적 프로그래밍 문제로 간주될 수 있으며, 이 형식에서는 수치적 방법을 사용하여 풀 수 있습니다.

예를 들어 대규모 계층적 다단계 시스템을 최적으로 제어합니다. 화학 생산, 야금 및 에너지 단지, 다목적 및 다단계 계층 적 최적 제어 시스템이 사용됩니다. 각 관리 수준과 전체 시스템에 대한 관리 품질 기준은 물론 관리 수준 간의 조치 조정이 수학적 모델에 도입됩니다.

제어되는 객체나 프로세스가 결정적이라면 이를 설명하기 위해 미분 방정식이 사용됩니다. 가장 일반적으로 사용되는 형식은 상미분 방정식입니다. 보다 복잡한 수학적 모델(분산 매개변수가 있는 시스템의 경우)에서는 편미분 방정식을 사용하여 객체를 설명합니다. 제어되는 객체가 확률론적이면 확률론적 미분 방정식을 사용하여 이를 설명합니다.

주어진 최적 제어 문제에 대한 해법이 초기 데이터(잘못된 문제)에 지속적으로 의존하지 않는 경우, 그러한 문제는 특별한 수치적 방법으로 해결됩니다.

이를 바탕으로 경험을 축적하고 업무를 개선할 수 있는 최적의 제어 시스템을 학습 최적 제어 시스템이라고 한다.

객체나 시스템의 실제 동작은 초기 조건의 부정확성, 객체에 작용하는 외부 방해에 대한 불완전한 정보, 프로그램 제어 구현의 부정확성 등으로 인해 항상 프로그램과 다릅니다. 따라서 객체의 동작이 최적의 동작에서 벗어나는 것을 최소화하기 위해 일반적으로 자동 제어 시스템이 사용됩니다.

때때로(예: 야금 용광로와 같은 복잡한 객체를 관리할 때 또는 경제 정보를 분석할 때) 최적 제어 문제를 설정할 때 제어 객체에 대한 초기 데이터 및 지식에는 기존 방식으로는 처리할 수 없는 불확실하거나 모호한 정보가 포함되어 있습니다. 정량적 방법. 이러한 경우에는 퍼지 집합의 수학적 이론(퍼지 제어)을 기반으로 하는 최적의 제어 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 사용된 개념과 지식은 퍼지 형태로 변환되고, 의사결정을 도출하기 위한 퍼지 규칙이 결정되며, 퍼지 의사결정은 다시 물리적 제어변수로 변환됩니다.

최적의 공정관리(강의)

강의 계획

1. 함수의 극값을 구하는 기본 개념

2. 최적의 제어방법의 분류

1. 함수의 극값을 구하는 기본 개념

최적 문제의 수학적 공식화는 종종 하나 또는 여러 독립 변수의 함수의 극값을 찾는 문제와 동일하거나 동일합니다. 따라서 이러한 최적의 문제를 해결하기 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 다양한 방법극한을 찾고 있습니다.

일반적으로 최적화 문제는 다음과 같이 공식화됩니다.

함수 R(x)의 extr을 찾습니다. 여기서 XX는

R (x) – 목적 함수 또는 함수, 최적화 기준 또는 최적화 함수라고 함

X는 독립변수입니다.

알려진 바와 같이, 연속 함수 R(x)의 극한 존재에 필요한 조건은 1차 도함수 분석을 통해 얻을 수 있습니다. 이 경우 함수 R(x)는 독립 변수 X의 값에 대해 극단값을 가질 수 있으며, 여기서 1차 도함수는 0입니다. 즉 =0. 그래픽적으로 미분과 0의 동일성은 이 지점에서 곡선 R(x)에 대한 접선이 가로축과 평행함을 의미합니다.

도함수 =0은 같습니다 필요한 조건극한.

그러나 도함수가 0이라는 사실이 이 지점에 극값이 있다는 의미는 아닙니다. 현 시점에서 실제로 극한값이 존재하는지 최종적으로 확인하려면 다음과 같은 방법으로 구성된 추가 연구를 수행해야 합니다.

1. 함수값을 비교하는 방법

"의심되는" 극점 X K에서 함수 R(x)의 값은 X K-ε 및 X K+ε 지점에서 함수 R(x)의 두 이웃 값과 비교됩니다. 여기서 ε는 작은 값입니다. 양수 값. (그림 2)

R(X K+ε)과 R(X K-ε)의 계산된 값이 모두 R(X K)보다 작거나 큰 것으로 판명되면 X K 지점에 함수 R의 최대값 또는 최소값이 있습니다. (엑스).

R(X K)가 R(X K-ε)과 R(X K+ε) 사이의 중간 값을 갖는 경우 함수 R(x)에는 최대값도 최소값도 없습니다.

2. 파생상품의 부호를 비교하는 방법

점 X K 부근의 함수 R(X K)을 다시 고려해 보겠습니다. X K+ε 및 X K-ε. 이 방법을 사용하면 점 X K 근처의 도함수 부호가 고려됩니다. 점 X K-ε과 X K + ε의 도함수 부호가 다르면 점 X K에 극값이 있습니다. 이 경우 X K-ε 지점에서 X K+ε 지점으로 이동할 때 도함수의 부호를 변경하면 극값의 유형(최소 또는 최대)을 알 수 있습니다.

부호가 "+"에서 "-"로 변경되면 X K 지점에 최대값이 있고(그림 3b), 반대로 "-"에서 "+"로 변경되면 최소값이 있습니다. (그림 3a)

3. 고차 파생상품의 부호를 연구하는 방법.

이 방법은 극값의 "의심되는" 지점에 더 높은 차수의 도함수가 있는 경우에 사용됩니다. 함수 R(X K)는 그 자체가 연속일 뿐만 아니라 연속 도함수와 를 갖습니다.

방법은 다음과 같이 요약됩니다.

그 시점에 엑스케이극단에 대한 "의심", 이는 사실입니다.

2차 미분 값이 계산됩니다.

만약 동시에 , 그러면 지점 X에서 K가 최대값이고,

만약에 , X 지점에서 K는 최소값입니다.

실제 최적화 문제를 해결할 때 함수 R(X K)의 최소값 또는 최대값을 찾는 것이 아니라 전역 극값이라고 하는 이 함수의 최대값 또는 최소값을 찾는 것이 필요합니다. (그림 4)

일반적인 경우, 최적화 문제는 수학적 모델의 방정식에 대한 특정 제한이 있는 경우 함수 R(X)의 극값을 찾는 것으로 구성됩니다.

R(X)가 선형이고 실현 가능한 해의 영역이 선형 등식과 부등식으로 지정되는 경우 함수의 극값을 찾는 문제는 선형 계획법 문제 클래스에 속합니다.

종종 집합 X는 함수 시스템으로 정의됩니다.

그러면 선형 계획법 문제의 수학적 설명은 다음과 같습니다.

대상 함수 R(X) 또는 제약 조건 중 하나가 선형 함수가 아닌 경우 함수 R(X)의 극값을 찾는 작업은 비선형 프로그래밍 문제 클래스에 속합니다.

변수 X에 제한이 적용되지 않으면 이러한 문제를 무조건 극값 문제라고 합니다.

예 일반적인 작업최적화

최대 용량의 상자에 관한 문제입니다.

이 공백에서 4개의 짝수 정사각형을 모서리에서 잘라내고 결과 그림(그림 5b)을 구부려 상단 덮개가 없는 상자를 형성해야 합니다(그림 6.5c). 이 경우 최대 부피의 상자를 얻을 수 있도록 절단 사각형의 크기를 선택해야 합니다.

이 문제를 예로 사용하여 최적화 문제 설정의 모든 요소를 ​​설명할 수 있습니다.

쌀. 5. 고정된 크기의 직사각형 블랭크로 상자를 제조하는 방식

이 문제의 평가함수는 제작된 상자의 부피이다. 문제는 잘라낼 사각형의 크기를 선택하는 것입니다. 실제로 절단된 사각형의 크기가 너무 작으면 높이가 낮은 넓은 상자가 얻어지므로 부피가 작아집니다. 반면에 잘라낸 사각형의 크기가 너무 크면 좁은 상자가 됩니다. 높은 고도이는 볼륨도 작다는 것을 의미합니다.

동시에 절단된 사각형의 크기 선택은 원본 공작물의 크기 제한에 영향을 받습니다. 실제로 원래 공작물 측면의 절반에 해당하는 측면을 가진 사각형을 자르면 작업이 의미가 없게 됩니다. 절단된 사각형의 측면도 원래 공작물의 측면의 절반을 초과할 수 없습니다. 이는 실제적인 이유로 불가능하기 때문입니다. 따라서 이 문제의 공식화에는 몇 가지 제한 사항이 포함되어야 합니다.

최대 부피 상자 문제의 수학적 공식화. 이 문제를 수학적으로 공식화하려면 상자의 기하학적 치수를 특징짓는 몇 가지 매개변수를 고려해야 합니다. 이를 위해 우리는 적절한 매개변수를 사용하여 문제의 실질적인 공식화를 보완할 것입니다. 이를 위해 측면 길이가 L인 유연한 재료로 만들어진 정사각형 블랭크를 고려해 보겠습니다(그림 6). 이 공백에서 모서리에 측면이 있는 짝수 정사각형 4개를 잘라낸 다음 결과 그림을 구부려 상단 덮개가 없는 상자를 얻습니다. 작업은 결과가 최대 볼륨의 상자가 되도록 절단된 사각형의 크기를 선택하는 것입니다.

쌀. 6. 치수를 나타내는 직사각형 공백으로 제조 다이어그램

이 문제를 수학적으로 공식화하려면 해당 최적화 문제의 변수를 결정하고 목적 함수를 설정하고 제약 조건을 지정해야 합니다. 변수로서 우리는 절단된 정사각형 r의 변의 길이를 취해야 하며, 이는 일반적으로 문제의 의미 있는 공식화에 기초하여 연속적인 실수 값을 취합니다. 목적 함수는 결과 상자의 부피입니다. 상자 밑면의 길이는 L - 2r이고 상자의 높이는 r과 같으므로 부피는 V (r) = (L -2r) 공식으로 구합니다. 2r. 물리적 고려 사항에 따라 변수 r의 값은 음수가 될 수 없으며 원래 공작물 L 크기의 절반을 초과할 수 없습니다. 0.5L.

r = 0 및 r = 0.5 L 값에 대해 상자 문제에 대한 해당 솔루션이 표현됩니다. 실제로 첫 번째 경우에는 공작물이 변경되지 않은 상태로 유지되지만 두 번째 경우에는 4개의 동일한 부품으로 절단됩니다. 이러한 해에는 물리적 해석이 있기 때문에 상자 문제는 공식화 및 분석의 편의를 위해 비엄격 부등식과 같은 제약 조건을 갖춘 최적화로 간주될 수 있습니다.

통일을 위해 변수를 x = r로 표시하며 이는 해결 중인 최적화 문제의 성격에 영향을 주지 않습니다. 그러면 최대 부피 상자 문제의 수학적 공식은 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.

여기서 (1)

이 문제의 목적 함수는 비선형이므로 상자 문제 최대 크기비선형 프로그래밍 또는 비선형 최적화 문제 클래스에 속합니다.

2. 최적의 제어방법의 분류

프로세스 최적화는 해당 기능의 최적값을 찾는 것으로 구성됩니다. 최적의 조건이 과정을 수행합니다.

최적을 평가하기 위해서는 우선 최적화 기준을 선택하는 것이 필요하다. 일반적으로 최적화 기준은 특정 조건에서 선택됩니다. 그것은 될 수 있습니다 기술적 기준(예: 덤프 슬래그의 Cu 함량) 또는 경제적 기준(주어진 노동 생산성에서 제품의 최소 비용) 등. 선택한 최적화 기준을 기반으로 최적화 기준의 의존성을 나타내는 목적 함수가 컴파일됩니다. 그 가치에 영향을 미치는 매개 변수에 대해. 최적화 문제는 극한값을 찾는 것으로 귀결됩니다. 목적함수. 고려 중인 수학적 모델의 특성에 따라 다양한 수학적 최적화 방법이 채택됩니다.

최적화 문제의 일반적인 공식화는 다음과 같습니다.

1. 기준을 선택하세요

2. 모델 방정식이 컴파일됩니다.

3. 제한 시스템이 적용됩니다.

4. 솔루션

모델 - 선형 또는 비선형

제한

모델의 구조에 따라 다양한 최적화 방법이 사용됩니다. 여기에는 다음이 포함됩니다.

1. 분석적 최적화 방법(극값에 대한 분석적 탐색, 라그랑주 승수법, 변분법)

2. 수학적 프로그래밍(선형 프로그래밍, 동적 프로그래밍)

3. 그라데이션 방법.

4. 통계적 방법(회귀분석)

선형 프로그래밍. 선형 계획법 문제에서 최적성 기준은 다음과 같이 표시됩니다.

상수 계수가 주어지는 곳은 어디입니까? 작업 변수.

모델 방정식은 다음 형식의 선형 방정식(다항식)입니다. 평등 또는 불평등의 형태로 제한이 적용됩니다. (2)

선형 계획법 문제에서는 일반적으로 모든 독립 변수 Xj가 음수가 아닌 것으로 가정합니다.

선형 프로그래밍 문제에 대한 최적의 솔루션은 음수가 아닌 독립 변수 값 집합입니다.

조건 (2)를 충족하고 문제의 공식화에 따라 기준의 최대값 또는 최소값을 제공합니다.

기하학적 해석은 다음과 같습니다. - 평등 및 불평등 유형의 변수 X 1 및 X 2에 대한 제한이 있는 기준

R은 라인 l을 따라 일정한 값을 갖습니다. 최적의 솔루션왜냐하면 S점에 있을 것이기 때문입니다. 이 시점에서 기준은 최대가 됩니다. 선형 프로그래밍의 최적화 문제를 해결하는 방법 중 하나는 단순 방법입니다.

비선형 프로그래밍. 비선형 프로그래밍 문제의 수학적 공식은 다음과 같습니다. 목적 함수의 극값을 찾습니다. , 이는 비선형성의 형태를 갖는다.

독립변수에는 등식, 부등식 등 다양한 제한이 가해집니다.

현재 비선형 프로그래밍 문제를 해결하기 위해 상당히 많은 방법이 사용됩니다.

여기에는 다음이 포함됩니다. 1) 경사 방법(경사법, 최속강하법, 이미지 방법, Rosenbrock 방법 등)

2) Gradient-free 방법(Gauss-Seidel 방법, 스캐닝 방법).

그라데이션 최적화 방법

이러한 방법은 검색 유형의 수치 방법에 속합니다. 이 방법의 핵심은 목적함수에 가장 큰(최소) 변화를 주는 독립변수의 값을 결정하는 것입니다. 이는 일반적으로 주어진 지점에서 윤곽 표면에 직교하는 그라데이션을 따라 이동하여 달성됩니다.

그래디언트 방법을 고려해 봅시다. 이 방법은 목적 함수의 기울기를 사용합니다. 기울기 방법에서는 목적 함수가 가장 빠르게 감소하는 방향으로 단계를 수행합니다.

쌀. 8. 그래디언트 방법을 사용하여 최소값 찾기

최적의 검색은 두 단계로 수행됩니다.

1단계: - 문제의 점에서 기울기 방향을 결정하는 모든 독립 변수에 대한 편도함수 값을 찾습니다.

2단계: - 그라데이션 방향과 반대 방향으로 단계가 수행됩니다. 목적 함수가 가장 빠르게 감소하는 방향으로.

그래디언트 방법 알고리즘은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

(3)

최속강하법에 의한 최적점으로의 이동의 성격은 초기점에서 최적화된 함수의 기울기를 찾아 특정점에서 가장 빠르게 감소하는 방향을 결정한 후 다음과 같다(그림 6.9). 이 방향으로 하강 단계가 이루어집니다. 이 단계의 결과로 함수 값이 감소하면 같은 방향으로 또 다른 단계가 수행되고 이 방향에서 최소값이 발견될 때까지 계속됩니다. 그런 다음 기울기가 다시 계산되고 가장 빠른 새 방향이 계산됩니다. 목적 함수의 감소가 결정됩니다.

극값을 검색하기 위한 기울기 없는 방법입니다. 이러한 방법은 그래디언트 방법과 달리 파생 상품 분석을 통해 얻은 정보를 검색하는 과정에서 사용되지 않고 비교평가다음 단계를 수행한 결과로 나온 최적성 기준의 값입니다.

극값을 검색하기 위한 기울기 없는 방법은 다음과 같습니다.

1. 황금비율법

2. 피보늄수를 이용한 방법

3. Gaus-Seidel 방법(변수의 변화를 구하는 방법)

4. 스캐닝 방법 등