მენეჯმენტი უზრუნველყოფს სისტემის ოპტიმალურ მართვადობას. ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემები. ნახეთ, რა არის „ოპტიმალური კონტროლი“ სხვა ლექსიკონებში

ზოგადად, ავტომატური სისტემა შედგება საკონტროლო ობიექტისა და მოწყობილობების ნაკრებისგან, რომლებიც უზრუნველყოფენ ამ ობიექტის კონტროლს. როგორც წესი, მოწყობილობების ეს ნაკრები მოიცავს საზომ მოწყობილობებს, გამაძლიერებელ და გარდამქმნელ მოწყობილობებს, აგრეთვე ამძრავებს. თუ ამ მოწყობილობებს გავაერთიანებთ ერთ ბმულად (საკონტროლო მოწყობილობა), მაშინ სისტემის ბლოკ-სქემა ასე გამოიყურება:

IN ავტომატური სისტემაინფორმაცია კონტროლირებადი ობიექტის მდგომარეობის შესახებ მიეწოდება საკონტროლო მოწყობილობის შეყვანას საზომი მოწყობილობის მეშვეობით. ასეთ სისტემებს უწოდებენ უკუკავშირის სისტემებს ან დახურულ სისტემებს. ამ ინფორმაციის არარსებობა საკონტროლო ალგორითმში მიუთითებს, რომ სისტემა ღიაა. ჩვენ აღვწერთ საკონტროლო ობიექტის მდგომარეობას ნებისმიერ დროს ცვლადები
, რომლებსაც სისტემის კოორდინატები ან მდგომარეობის ცვლადები ეწოდება. მოსახერხებელია მათი კოორდინატებად განხილვა - განზომილებიანი მდგომარეობის ვექტორი.

საზომი მოწყობილობა გვაწვდის ინფორმაციას ობიექტის მდგომარეობის შესახებ. თუ ვექტორული გაზომვის საფუძველზე
შეგიძლიათ იპოვოთ ყველა კოორდინატის მნიშვნელობა
სახელმწიფო ვექტორი
, მაშინ ამბობენ, რომ სისტემა მთლიანად დაკვირვებადია.

საკონტროლო მოწყობილობა წარმოქმნის საკონტროლო მოქმედებას
. შეიძლება იყოს რამდენიმე ასეთი საკონტროლო მოქმედება; ისინი ყალიბდებიან - განზომილებიანი კონტროლის ვექტორი.

საკონტროლო მოწყობილობის შეყვანა იღებს საცნობარო შეყვანას
. შეყვანის ეს ქმედება შეიცავს ინფორმაციას იმის შესახებ, თუ როგორი უნდა იყოს ობიექტის მდგომარეობა. საკონტროლო ობიექტი შეიძლება დაექვემდებაროს შემაშფოთებელ გავლენას
, რომელიც წარმოადგენს დატვირთვას ან დარღვევას. ობიექტის კოორდინატების გაზომვა ჩვეულებრივ ხორციელდება გარკვეული შეცდომით
, რომლებიც ასევე შემთხვევითია.

საკონტროლო მოწყობილობის ამოცანაა ისეთი საკონტროლო მოქმედების შემუშავება
ისე, რომ მთლიანობაში ავტომატური სისტემის ფუნქციონირების ხარისხი რაღაც თვალსაზრისით საუკეთესო იქნებოდა.

ჩვენ განვიხილავთ საკონტროლო ობიექტებს, რომლებიც მართვადია. ანუ, მდგომარეობის ვექტორი შეიძლება შეიცვალოს საჭიროებისამებრ საკონტროლო ვექტორის შესაბამისი შეცვლით. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ობიექტი მთლიანად დაკვირვებადია.

მაგალითად, თვითმფრინავის პოზიცია ხასიათდება ექვსი სახელმწიფო კოორდინატით. ეს
- მასის ცენტრის კოორდინატები,
- ეილერის კუთხეები, რომლებიც განსაზღვრავენ თვითმფრინავის ორიენტაციას მასის ცენტრთან მიმართებაში. თვითმფრინავის დამოკიდებულების შეცვლა შესაძლებელია ლიფტების, სათავეების, აირრონისა და ბიძგის ვექტორინგის გამოყენებით. ამრიგად, საკონტროლო ვექტორი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

- ლიფტის გადახრის კუთხე

-კარგად

- აირონი

- წევა

სახელმწიფო ვექტორი
ამ შემთხვევაში იგი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

თქვენ შეგიძლიათ დაისვათ კონტროლის არჩევის პრობლემა, რომლის დახმარებითაც თვითმფრინავი გადადის მოცემული საწყისი მდგომარეობიდან
მოცემულ საბოლოო მდგომარეობამდე
თან მინიმალური ხარჯებისაწვავი ან მინიმალურ დროში.

ტექნიკური პრობლემების გადაჭრისას დამატებითი სირთულე წარმოიქმნება იმის გამო, რომ, როგორც წესი, სხვადასხვა შეზღუდვები დაწესებულია საკონტროლო მოქმედებაზე და საკონტროლო ობიექტის სახელმწიფო კოორდინატებზე.

არსებობს შეზღუდვები ლიფტების, ფრთების და ალერონების ნებისმიერი კუთხით:

- თავისთავად წევა შეზღუდულია.

საკონტროლო ობიექტის სახელმწიფო კოორდინატები და მათი წარმოებულები ასევე ექვემდებარება შეზღუდვებს, რომლებიც დაკავშირებულია დასაშვებ გადატვირთვებთან.

ჩვენ განვიხილავთ საკონტროლო ობიექტებს, რომლებიც აღწერილია დიფერენციალური განტოლებით:

(1)

ან ვექტორული ფორმით:

-- ობიექტის მდგომარეობის განზომილებიანი ვექტორი

-- საკონტროლო მოქმედებების განზომილებიანი ვექტორი

- განტოლების მარჯვენა მხარის ფუნქცია (1)

საკონტროლო ვექტორამდე
დაწესებულია შეზღუდვა, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მისი მნიშვნელობები ეკუთვნის რომელიმე დახურულ რეგიონს ზოგიერთი - განზომილებიანი სივრცე. ეს ნიშნავს, რომ აღმასრულებელი ფუნქცია
ნებისმიერ დროს ეკუთვნის რეგიონს (
).

მაგალითად, თუ საკონტროლო ფუნქციის კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას:

შემდეგ ტერიტორია არის - გაზომილი კუბი.

მოდით, ნებისმიერ ნაწილებად უწყვეტ ფუნქციას ვუწოდოთ დასაშვები კონტროლი
, რომლის ღირებულებები დროის ყოველ მომენტში ეკუთვნის რეგიონს და რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს პირველი სახის შეწყვეტა. გამოდის, რომ ზოგიერთ ოპტიმალურ საკონტროლო პრობლემაშიც კი, გამოსავალი შეიძლება მივიღოთ ცალმხრივი უწყვეტი კონტროლის კლასში. კონტროლის შესარჩევად
დროისა და სისტემის საწყისი მდგომარეობის ფუნქციით
, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს საკონტროლო ობიექტის მოძრაობას, საჭიროა განტოლებათა სისტემა (1) აკმაყოფილებდეს არეში ამონახსნის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემის პირობებს.
. ეს ტერიტორია შეიცავს ობიექტის მოძრაობის შესაძლო ტრაექტორიებს და შესაძლო საკონტროლო ფუნქციებს.
. თუ ცვლადების ცვალებადობის დომენი ამოზნექილია, მაშინ ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობისთვის საკმარისია ფუნქცია

. იყო უწყვეტი ყველა არგუმენტში და ჰქონდა უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ცვლადებთან მიმართებაში

.

როგორც კრიტერიუმი, რომელიც ახასიათებს სისტემის მუშაობის ხარისხს, შეირჩევა ფორმის ფუნქციონალი:

(2)

როგორც ფუნქცია
ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ის უწყვეტია ყველა არგუმენტში და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები

.

ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემის შესაქმნელად საჭიროა სრული ინფორმაცია ოპ-გამაძლიერებლის, შემაშფოთებელი და სამაგისტრო ზემოქმედების და ოპ-გამაძლიერებლის საწყისი და საბოლოო მდგომარეობის შესახებ. შემდეგი, თქვენ უნდა აირჩიოთ ოპტიმალური კრიტერიუმი. ასეთ კრიტერიუმად შეიძლება გამოყენებულ იქნას სისტემის ხარისხის ერთ-ერთი ინდიკატორი. თუმცა, ინდივიდუალური ხარისხის ინდიკატორების მოთხოვნები, როგორც წესი, ურთიერთგამომრიცხავია (მაგალითად, სისტემის სიზუსტის გაზრდა მიიღწევა სტაბილურობის ზღვრის შემცირებით). გარდა ამისა, ოპტიმალურ სისტემას უნდა ჰქონდეს მინიმუმი შესაძლო შეცდომაარა მხოლოდ კონკრეტული საკონტროლო მოქმედების შემუშავებისას, არამედ სისტემის მთელი მუშაობის დროს. გასათვალისწინებელია ისიც, რომ კონტროლის ოპტიმალური პრობლემის გადაწყვეტა დამოკიდებულია არა მხოლოდ სისტემის სტრუქტურაზე, არამედ მისი შემადგენელი ელემენტების პარამეტრებზეც.

ACS-ის ოპტიმალური ფუნქციონირების მიღწევა დიდწილად განისაზღვრება იმით, თუ როგორ ხორციელდება კონტროლი დროთა განმავლობაში, რა არის პროგრამა ან კონტროლის ალგორითმი.ამასთან დაკავშირებით, სისტემების ოპტიმალურობის შესაფასებლად გამოიყენება ინტეგრალური კრიტერიუმები, რომლებიც გამოითვლება როგორც დიზაინერებისთვის საინტერესო სისტემის ხარისხის პარამეტრის მნიშვნელობების ჯამი კონტროლის პროცესის მთელი დროის განმავლობაში.

მიღებული ოპტიმალურობის კრიტერიუმიდან გამომდინარე, განვიხილავთ შემდეგი ტიპებიოპტიმალური სისტემები.

1. სისტემები, ოპტიმალური შესრულებისთვის, რომლებიც უზრუნველყოფენ op-amp-ის ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადატანის მინიმალურ დროს. ამ შემთხვევაში, ოპტიმალური კრიტერიუმი ასე გამოიყურება:

სადაც / n და / k არის კონტროლის პროცესის დაწყების და დასრულების მომენტები.

ასეთ სისტემებში კონტროლის პროცესის ხანგრძლივობა მინიმალურია. უმარტივესი მაგალითია ძრავის მართვის სისტემა, რომელიც უზრუნველყოფს მოცემულ სიჩქარეზე აჩქარების მინიმალურ დროს, ყველა არსებული შეზღუდვის გათვალისწინებით.

2. სისტემები, ოპტიმალური რესურსების მოხმარების თვალსაზრისით, რომლებიც უზრუნველყოფენ მინიმალურ კრიტერიუმს

სად რომ- პროპორციულობის კოეფიციენტი; U(t)- კონტროლის მოქმედება.

ძრავის მართვის ასეთი სისტემა უზრუნველყოფს, მაგალითად, საწვავის მინიმალურ მოხმარებას მთელი საკონტროლო პერიოდის განმავლობაში.

3. სისტემები, ოპტიმალური კონტროლის დანაკარგების თვალსაზრისით(ან სიზუსტე), რომლებიც უზრუნველყოფენ კონტროლის მინიმალურ შეცდომებს იმ კრიტერიუმის საფუძველზე, სადაც e(f) არის დინამიური შეცდომა.

პრინციპში, ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემის შემუშავების პრობლემა შეიძლება გადაწყდეს ყველა ჩამოთვლის უმარტივესი მეთოდით. შესაძლო ვარიანტები. რა თქმა უნდა, ეს მეთოდი დიდ დროს მოითხოვს, მაგრამ თანამედროვე კომპიუტერები შესაძლებელს ხდის ზოგიერთ შემთხვევაში მის გამოყენებას. ოპტიმიზაციის პრობლემების გადასაჭრელად შემუშავებულია ვარიაციების გაანგარიშების სპეციალური მეთოდები (მაქსიმალური მეთოდი, დინამიური პროგრამირების მეთოდი და ა.შ.), რაც შესაძლებელს ხდის რეალური სისტემების ყველა შეზღუდვის გათვალისწინებას.

მაგალითად, განვიხილოთ, როგორი უნდა იყოს DC ელექტროძრავის სიჩქარის ოპტიმალური კონტროლი, თუ მასზე მიწოდებული ძაბვა შემოიფარგლება ზღვრული მნიშვნელობით (/lr და თავად ძრავა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მე-2 რიგის აპერიოდულ ბმულად (ნახ. 13.9, ა).

მაქსიმალური მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ცვლილების კანონი u(d),ძრავის აჩქარების როტაციის სიჩქარემდე მინიმალური დროის უზრუნველყოფა (ნახ. 13.9, ბ).ამ ძრავის მართვის პროცესი უნდა შედგებოდეს ორი ინტერვალისაგან, რომელთაგან თითოეულში ძაბვა u(t)იღებს მის მაქსიმალურ დასაშვებ მნიშვნელობას (ინტერვალში 0 - /,: u(t)= +?/ ex, ინტერვალში /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* ასეთი კონტროლის უზრუნველსაყოფად სისტემაში უნდა იყოს ჩართული სარელეო ელემენტი.

ჩვეულებრივი სისტემების მსგავსად, ოპტიმალური სისტემებია ღია, დახურული და კომბინირებული. თუ ოპტიმალური კონტროლი, რომელიც გადასცემს op-amp-ს საწყისი მდგომარეობიდან საბოლოო მდგომარეობამდე და დამოუკიდებელია ან სუსტად არის დამოკიდებული შემაშფოთებელ ზემოქმედებაზე, შეიძლება განისაზღვროს დროის ფუნქციით. უ= (/(/), შემდეგ ვაშენებთ ღია მარყუჟის სისტემაპროგრამის კონტროლი (ნახ. 13.10, ა).

ოპტიმალური პროგრამა P, რომელიც შექმნილია მიღებული ოპტიმალური კრიტერიუმის უკიდურესობის მისაღწევად, ჩართულია PU პროგრამულ მოწყობილობაში. ამ სქემის მიხედვით ხორციელდება მენეჯმენტი

ბრინჯი. 13.9.

ა- საერთო მართვის მოწყობილობით; ბ -ორ დონის კონტროლერით

მოწყობილობა

ბრინჯი. 13.10. ოპტიმალური სისტემების სქემები: ა- ღია; ბ- კომბინირებული

რიცხობრივად კონტროლირებადი მანქანებისა და მარტივი რობოტების გამოყენებით, ორბიტაზე რაკეტების გაშვება და ა.შ.

ყველაზე მოწინავე, თუმცა ასევე ყველაზე რთული, არის კომბინირებული ოპტიმალური სისტემები(ნახ. 13.10, ბ).ასეთ სისტემებში ღია მარყუჟი ახორციელებს ოპტიმალურ კონტროლს მოცემული პროგრამის მიხედვით, ხოლო დახურული ციკლი, რომელიც ოპტიმიზებულია შეცდომების მინიმიზაციისთვის, ამუშავებს გამომავალი პარამეტრების გადახრას. არეულობის საზომი თოკის /* გამოყენებით, სისტემა ხდება უცვლელი მამოძრავებელი და შემაშფოთებელი ზემოქმედების მთელი ნაკრების მიმართ.

ასეთი სრულყოფილი კონტროლის სისტემის დანერგვისთვის აუცილებელია ყველა შემაშფოთებელი გავლენის ზუსტად და სწრაფად გაზომვა. თუმცა, ეს შესაძლებლობა ყოველთვის არ არის ხელმისაწვდომი. უფრო ხშირად, მხოლოდ საშუალო სტატისტიკური მონაცემებია ცნობილი შემაშფოთებელი გავლენის შესახებ. ხშირ შემთხვევაში, განსაკუთრებით ტელეკონტროლის სისტემებში, ხმაურთან ერთად სისტემაში მამოძრავებელი ძალაც კი შედის. და რადგან ჩარევა, ზოგადად, შემთხვევითი პროცესია, შესაძლებელია მხოლოდ სინთეზირება სტატისტიკურად ოპტიმალური სისტემა.ასეთი სისტემა არ იქნება ოპტიმალური თითოეულიკონტროლის პროცესის კონკრეტული განხორციელება, მაგრამ ეს იქნება საშუალოდ საუკეთესო მისი განხორციელების მთელი ნაკრებისთვის.

სტატისტიკურად ოპტიმალური სისტემებისთვის საშუალო ალბათური შეფასებები გამოიყენება როგორც ოპტიმალური კრიტერიუმები. მაგალითად, მინიმალური შეცდომისთვის ოპტიმიზირებული თვალთვალის სისტემისთვის, გამომავალი ეფექტის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინი მითითებული მნიშვნელობიდან გამოიყენება, როგორც ოპტიმალურობის სტატისტიკური კრიტერიუმი, ე.ი. ვარიაცია:

ასევე გამოიყენება სხვა სავარაუდო კრიტერიუმები. მაგალითად, სამიზნის აღმოჩენის სისტემაში, სადაც მნიშვნელოვანია მხოლოდ სამიზნის არსებობა ან არარსებობა, არასწორი გადაწყვეტილების ალბათობა გამოიყენება როგორც ოპტიმალური კრიტერიუმი. როში:

სად რ პ ts არის მიზნის გაშვების ალბათობა; R LO- ცრუ გამოვლენის ალბათობა.

ხშირ შემთხვევაში, გამოთვლილი ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემების განხორციელება პრაქტიკულად შეუძლებელია მათი სირთულის გამო. როგორც წესი, საჭიროა მაღალი დონის წარმოებულების ზუსტი მნიშვნელობების მიღება შეყვანის გავლენისგან, რაც ტექნიკურად ძალიან რთულია განხორციელება. ხშირად, ოპტიმალური სისტემის თეორიული ზუსტი სინთეზიც კი შეუძლებელი აღმოჩნდება. თუმცა, დიზაინის ოპტიმალური მეთოდები შესაძლებელს ხდის კვაზი-ოპტიმალური სისტემების აშენებას, თუმცა გამარტივებულია ამა თუ იმ ხარისხით, მაგრამ მაინც საშუალებას აძლევს ადამიანს მიაღწიოს ოპტიმალური კრიტერიუმების მნიშვნელობებს, რომლებიც ახლოსაა უკიდურესობასთან.

ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემების აგების განმარტება და აუცილებლობა

ავტომატური კონტროლის სისტემები, როგორც წესი, შექმნილია გარკვეული ხარისხის მაჩვენებლების უზრუნველსაყოფად მოთხოვნების საფუძველზე. ხშირ შემთხვევაში, დინამიური სიზუსტის აუცილებელი ზრდა და ავტომატური მართვის სისტემების გარდამავალი პროცესების გაუმჯობესება მიიღწევა მაკორექტირებელი მოწყობილობების დახმარებით.

განსაკუთრებით ფართო შესაძლებლობებიხარისხის ინდიკატორების გაუმჯობესება მიიღწევა ACS-ში ღია მარყუჟის კომპენსაციის არხებისა და დიფერენციალური კავშირების შეყვანით, რომლებიც სინთეზირებულია ცდომილების უცვლელობის ამა თუ იმ პირობიდან მთავარ ან შემაშფოთებელ გავლენებთან მიმართებაში. ამასთან, კორექტირების მოწყობილობების, ღია კომპენსაციის არხების და ექვივალენტური დიფერენციალური კავშირების ეფექტი ACS-ის ხარისხის ინდიკატორებზე დამოკიდებულია სისტემის არაწრფივი ელემენტების მიერ სიგნალის შეზღუდვის დონეზე. დიფერენცირების მოწყობილობების გამომავალი სიგნალები, ჩვეულებრივ ხანმოკლე ხანგრძლივობით და მნიშვნელოვანი ამპლიტუდით, შემოიფარგლება სისტემის ელემენტებით და არ იწვევს სისტემის ხარისხის ინდიკატორების გაუმჯობესებას, კერძოდ, მის სიჩქარეს. საუკეთესო ქულებიეგრეთ წოდებული ოპტიმალური კონტროლი უზრუნველყოფს პრობლემის გადაჭრას ავტომატური მართვის სისტემის ხარისხის ინდიკატორების გაზრდის სიგნალის შეზღუდვების არსებობისას.

ოპტიმალური სისტემების სინთეზის პრობლემა მკაცრად ჩამოყალიბდა შედარებით ცოტა ხნის წინ, როდესაც განისაზღვრა ოპტიმალური კრიტერიუმის კონცეფცია. მართვის მიზნიდან გამომდინარე, სხვადასხვა ტექნიკური ან ეკონომიკური მაჩვენებლებიკონტროლირებადი პროცესი. ოპტიმალურ სისტემებში უზრუნველყოფილია არა მხოლოდ ამა თუ იმ ტექნიკურ-ეკონომიკური ხარისხის მაჩვენებლის უმნიშვნელო მატება, არამედ მისი მინიმალური ან მაქსიმალური შესაძლო მნიშვნელობის მიღწევა.

თუ ოპტიმალური კრიტერიუმი გამოხატავს ტექნიკურ და ეკონომიკურ ზარალს (სისტემის შეცდომები, გარდამავალი პროცესის დრო, ენერგიის მოხმარება, სახსრები, ღირებულება და ა.შ.), მაშინ ოპტიმალური კონტროლი იქნება ის, რომელიც უზრუნველყოფს მინიმალური ოპტიმალურობის კრიტერიუმს. თუ იგი გამოხატავს მომგებიანობას (ეფექტურობა, პროდუქტიულობა, მოგება, რაკეტის დიაპაზონი და ა.შ.), მაშინ ოპტიმალური კონტროლი უნდა უზრუნველყოფდეს მაქსიმალურ ოპტიმალურობის კრიტერიუმს.

ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემის განსაზღვრის პრობლემა, კერძოდ, სისტემის ოპტიმალური პარამეტრების სინთეზი, როდესაც მასტერი მიიღება მის შეყვანისას.

გავლენა და ჩარევა, რომლებიც სტაციონარული შემთხვევითი სიგნალებია, განხილული იყო თავში. 7. გავიხსენოთ, რომ ქ ამ შემთხვევაშიოპტიმალურობის კრიტერიუმად აღებულია ფესვის საშუალო კვადრატული შეცდომა (RMSE). სასარგებლო სიგნალის რეპროდუქციის სიზუსტის გაზრდის პირობები (გავლენის დაზუსტება) და ჩარევის ჩახშობა ურთიერთსაწინააღმდეგოა და, შესაბამისად, ჩნდება ამოცანა ისეთი (ოპტიმალური) სისტემის პარამეტრების არჩევისთვის, რომლებშიც სტანდარტული გადახრა იღებს ყველაზე მცირე მნიშვნელობას.

განსაკუთრებული პრობლემაა ოპტიმალური სისტემის სინთეზი საშუალო კვადრატული ოპტიმალური კრიტერიუმის გამოყენებით. ზოგადი მეთოდებიოპტიმალური სისტემების სინთეზი ეფუძნება ვარიაციების გაანგარიშებას. თუმცა, ვარიაციების გაანგარიშების კლასიკური მეთოდები თანამედროვე პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც საჭიროებენ შეზღუდვების გათვალისწინებას, ხშირ შემთხვევაში, უვარგისია. ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემების სინთეზირების ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდებია ბელმანის დინამიური პროგრამირების მეთოდი და პონტრიაგინის მაქსიმალური პრინციპი.

ამრიგად, ავტომატური მართვის სისტემების სხვადასხვა ხარისხის ინდიკატორების გაუმჯობესების პრობლემასთან ერთად, ჩნდება ოპტიმალური სისტემების აგების პრობლემა, რომლებშიც მიიღწევა ამა თუ იმ ტექნიკური და ეკონომიკური ხარისხის ინდიკატორის უკიდურესი მნიშვნელობა.

ოპტიმალური ავტომატური მართვის სისტემების შემუშავება და დანერგვა ხელს უწყობს საწარმოო ერთეულების გამოყენების ეფექტურობის გაზრდას, შრომის პროდუქტიულობის გაზრდას, პროდუქციის ხარისხის გაუმჯობესებას, ენერგიის, საწვავის, ნედლეულის დაზოგვას და ა.შ.

ცნებები ობიექტის ფაზის მდგომარეობისა და ფაზის ტრაექტორიის შესახებ

ტექნოლოგიაში ხშირად ჩნდება კონტროლირებადი ობიექტის (პროცესის) ერთი მდგომარეობიდან მეორეში გადატანის ამოცანა. მაგალითად, დამიზნებისას საჭიროა ანტენა სარადარო სადგურიროტაცია საწყისი პოზიციიდან საწყისი აზიმუტით მითითებულ პოზიციამდე აზიმუტით.ამისთვის ანტენასთან დაკავშირებულ ელექტროძრავას გადაცემათა კოლოფით მიეწოდება საკონტროლო ძაბვა. დროის ყოველ მომენტში ანტენის მდგომარეობა ხასიათდება ბრუნვის კუთხის და კუთხური სიჩქარის მიმდინარე მნიშვნელობით.ეს ორი სიდიდე იცვლება საკონტროლო ძაბვის მიხედვით და. ამრიგად, არსებობს სამი ურთიერთდაკავშირებული პარამეტრი და (ნახ. 11.1).

ანტენის მდგომარეობის დამახასიათებელ რაოდენობებს ეწოდება ფაზის კოორდინატები და - საკონტროლო მოქმედება. როდესაც სამიზნე ნიშნავს რადარს, როგორიცაა იარაღის მართვის სადგური, ჩნდება ანტენის როტაცია აზიმუთში და სიმაღლეზე. ამ შემთხვევაში გვექნება ობიექტის ოთხი ფაზის კოორდინატი და ორი საკონტროლო მოქმედება. მფრინავი თვითმფრინავისთვის ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ექვსი ფაზის კოორდინატი (სამი სივრცითი კოორდინატი და სამი სიჩქარის კომპონენტი) და რამდენიმე საკონტროლო მოქმედება (ძრავის ბიძგი, საჭის პოზიციის დამახასიათებელი რაოდენობები.

ბრინჯი. 11.1. ობიექტის დიაგრამა ერთი საკონტროლო მოქმედებით და ორი ფაზის კოორდინატით.

ბრინჯი. 11.2. ობიექტის დიაგრამა საკონტროლო მოქმედებებით და ფაზის კოორდინატებით.

ბრინჯი. 11.3. ობიექტის დიაგრამა საკონტროლო მოქმედებისა და ობიექტის ფაზური მდგომარეობის ვექტორული გამოსახულებით

სიმაღლე და მიმართულება, ელერონები). ზოგადად, დროის ყოველ მომენტში ობიექტის მდგომარეობა ხასიათდება ფაზის კოორდინატებით და საკონტროლო მოქმედებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ობიექტზე (ნახ. 11.2).

კონტროლირებადი ობიექტის (პროცესის) გადატანა ერთი მდგომარეობიდან მეორეში უნდა იქნას გაგებული არა მხოლოდ როგორც მექანიკური მოძრაობა (მაგალითად, რადარის ანტენა, თვითმფრინავი), არამედ როგორც საჭირო ცვლილება სხვადასხვა ფიზიკური რაოდენობით: ტემპერატურა, წნევა, სალონის ტენიანობა, ქიმიური შემადგენლობაამა თუ იმ ნედლეულის შესაბამისი კონტროლირებადი ტექნოლოგიური პროცესით.

მოსახერხებელია საკონტროლო მოქმედებების განხილვა, როგორც გარკვეული ვექტორის კოორდინატები, რომელსაც ეწოდება საკონტროლო მოქმედების ვექტორი. ობიექტის ფაზის კოორდინატები (მდგომარეობის ცვლადები) ასევე შეიძლება ჩაითვალოს გარკვეული ვექტორის ან წერტილის კოორდინატებად განზომილებიანი სივრცეში კოორდინატებით.ამ წერტილს ეწოდება ობიექტის ფაზური მდგომარეობა (მდგომარეობის ვექტორი), ხოლო განზომილებიანი სივრცე. რომლებშიც ფაზური მდგომარეობები წერტილებად არის გამოსახული, განსახილველი ობიექტის ფაზური სივრცე (მდგომარეობის სივრცე) ეწოდება. ვექტორული გამოსახულების გამოყენებისას, კონტროლირებადი ობიექტი შეიძლება გამოისახოს, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 11.3, სადაც და არის საკონტროლო მოქმედების ვექტორი და წარმოადგენს წერტილს ფაზურ სივრცეში, რომელიც ახასიათებს ობიექტის ფაზურ მდგომარეობას. საკონტროლო მოქმედების გავლენის ქვეშ მოძრაობს ფაზის წერტილი, რომელიც აღწერს გარკვეულ ხაზს ფაზის სივრცეში, რომელსაც ეწოდება ობიექტის განხილული მოძრაობის ფაზის ტრაექტორია.

კონტროლის ოპტიმალური პრობლემები ეხება ექსტრემალური პრობლემების თეორიას, ანუ მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობების განსაზღვრის პრობლემებს. თვით ის ფაქტი, რომ ამ ფრაზაში რამდენიმე ლათინური სიტყვა იქნა ნაპოვნი (მაქსიმუმი - უდიდესი, მინიმალური - უმცირესი, extremum - უკიდურესი, optimus - ოპტიმალური) მიუთითებს იმაზე, რომ ექსტრემალური პრობლემების თეორია უძველესი დროიდან იყო კვლევის საგანი. არისტოტელე (ძვ. წ. 384-322), ევკლიდე (ძვ. წ. III ს.) და არქიმედე (ძვ. წ. 287-212 წწ.) ზოგიერთ ამ პრობლემაზე წერდნენ. ლეგენდა ქალაქ კართაგენის დაარსებას (ძვ. წ. 825 წ.) უკავშირებს უძველეს პრობლემას დახურული სიბრტყის მრუდის განსაზღვრის შესახებ, რომელიც მოიცავს მაქსიმალური შესაძლო ფართობის ფიგურას. ასეთ პრობლემებს იზოპერიმეტრიული ეწოდება.

ექსტრემალური პრობლემების დამახასიათებელი თვისებაა ის, რომ მათი ფორმულირება წარმოიშვა საზოგადოების განვითარების ამჟამინდელი მოთხოვნებით. უფრო მეტიც, მე-17 საუკუნიდან დაწყებული, დომინანტური იდეა გახდა, რომ ჩვენს ირგვლივ არსებული სამყაროს კანონები გარკვეული ვარიაციული პრინციპების შედეგია. პირველი მათგანი იყო P. Fermat-ის (1660) პრინციპი, რომლის მიხედვითაც ერთი წერტილიდან მეორეში გავრცელების სინათლის ტრაექტორია ისეთი უნდა იყოს, რომ ამ ტრაექტორიის გასწვრივ სინათლის გავლის დრო რაც შეიძლება მოკლე იყოს. შემდგომში შემოთავაზებული იქნა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებაში ფართოდ გამოყენებული სხვადასხვა ვარიაციული პრინციპი, მაგალითად: U.R.-ის სტაციონარული მოქმედების პრინციპი. ჰამილტონი (1834), ვირტუალური მოძრაობების პრინციპი, მინიმალური იძულების პრინციპი და ა.შ. ამავდროულად შემუშავდა ექსტრემალური პრობლემების გადაჭრის მეთოდები. დაახლოებით 1630 წელს ფერმამ ჩამოაყალიბა მრავალწევრების კიდურების შესწავლის მეთოდი, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ უკიდურეს წერტილში წარმოებული ტოლია ნულის. ზოგადი შემთხვევისთვის ეს მეთოდი მიიღეს ი.ნიუტონმა (1671) და გ.ვ. ლაიბნიცი (1684), რომლის ნაშრომები აღნიშნავს მათემატიკური ანალიზის დაბადებას. ვარიაციების კლასიკური გაანგარიშების განვითარების დასაწყისი თარიღდება 1696 წელს ი. ბერნულის (ლაიბნიცის სტუდენტის) სტატიის გამოჩენით, რომელშიც ჩამოყალიბებულია A და B ორი წერტილის დამაკავშირებელი მრუდის პრობლემის ფორმულირება, რომლებიც მოძრაობენ გასწვრივ. რომელიც A წერტილიდან B-მდე სიმძიმის გავლენით მატერიალური წერტილი B-ს მიაღწევს უმოკლეს დროში.

ვარიაციების კლასიკური გაანგარიშების ფარგლებში XVIII-XIX საუკუნეებში შეიქმნა პირველი რიგის ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობები (ლ. ეილერი, ჟ. K.T.V. Weierstrass, A.M. Legendre, K.G.Ya. Jacobi), აშენდა ჰამილტონ-იაკობის თეორია და ველის თეორია (დ. გილბერტი, ა. კნესერი). Შემდგომი განვითარებაექსტრემალური პრობლემების თეორიამ მე-20 საუკუნეში გამოიწვია წრფივი პროგრამირების, ამოზნექილი ანალიზის, მათემატიკური პროგრამირების, მინიმაქსის თეორიის და სხვა სფეროების შექმნა, რომელთაგან ერთ-ერთია ოპტიმალური კონტროლის თეორია.

ეს თეორია, ისევე როგორც ექსტრემალური პრობლემების თეორიის სხვა სფეროები, წარმოიშვა 40-იანი წლების ბოლოს ავტომატური მართვის ამჟამინდელ პრობლემებთან დაკავშირებით (მაღაროში ლიფტის კონტროლი, რაც შეიძლება სწრაფად შეჩერება, რაკეტების მოძრაობის კონტროლი, სიმძლავრის სტაბილიზაცია. ჰიდროელექტროსადგურების და სხვ.). გაითვალისწინეთ, რომ ცალკეული ამოცანების განცხადებები, რომლებიც შეიძლება იქნას განმარტებული, როგორც ოპტიმალური საკონტროლო პრობლემები, ადრე შეგვხვდა, მაგალითად, ი. ნიუტონის „ნატურალური ფილოსოფიის მათემატიკური პრინციპები“ (1687). ეს ასევე მოიცავს რ. გოდარდის (1919) პრობლემას რაკეტის მოცემულ სიმაღლეზე საწვავის მინიმალური მოხმარებით და მისი ორმაგი პრობლემა - რაკეტის მოცემულ სიმაღლეზე აწევა. მაქსიმალური სიმაღლესაწვავის მოცემული რაოდენობით. ბოლო დროს ჩამოყალიბდა ოპტიმალური კონტროლის თეორიის ფუნდამენტური პრინციპები: მაქსიმალური პრინციპი და დინამიური პროგრამირების მეთოდი.

ეს პრინციპები წარმოადგენს ვარიაციების კლასიკური გაანგარიშების განვითარებას რთული კონტროლის შეზღუდვების შემცველი პრობლემების შესასწავლად.

ახლა ოპტიმალური კონტროლის თეორია გადის სწრაფი განვითარების პერიოდს, როგორც რთული და საინტერესო მათემატიკური ამოცანების არსებობის გამო, ასევე აპლიკაციების სიმრავლის გამო, მათ შორის ისეთ სფეროებში, როგორიცაა ეკონომიკა, ბიოლოგია, მედიცინა, ბირთვული ენერგიადა ა.შ.

კონტროლის ყველა ოპტიმალური ამოცანა შეიძლება ჩაითვალოს მათემატიკური პროგრამირების ამოცანებად და ამ ფორმით შეიძლება გადაწყდეს რიცხვითი მეთოდების გამოყენებით.

იერარქიული მრავალ დონის სისტემების ოპტიმალური კონტროლით, მაგალითად, დიდი ქიმიური წარმოება, მეტალურგიული და ენერგეტიკული კომპლექსები, გამოიყენება მრავალფუნქციური და მრავალდონიანი იერარქიული ოპტიმალური მართვის სისტემები. მენეჯმენტის ხარისხის კრიტერიუმები თითოეული მენეჯმენტის დონისთვის და მთლიანად სისტემისთვის, ისევე როგორც მენეჯმენტის დონეებს შორის მოქმედებების კოორდინაცია, დანერგილია მათემატიკურ მოდელში.

თუ კონტროლირებადი ობიექტი ან პროცესი დეტერმინისტულია, მაშინ დიფერენციალური განტოლებები გამოიყენება მის აღსაწერად. ყველაზე ხშირად გამოიყენება ფორმის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები. უფრო რთულ მათემატიკურ მოდელებში (განაწილებული პარამეტრების მქონე სისტემებისთვის) ობიექტის აღწერისთვის გამოიყენება ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებები. თუ კონტროლირებადი ობიექტი სტოქასტურია, მაშინ მის აღსაწერად გამოიყენება სტოქასტური დიფერენციალური განტოლებები.

თუ მოცემული ოპტიმალური საკონტროლო ამოცანის ამოხსნა განუწყვეტლივ არ არის დამოკიდებული საწყის მონაცემებზე (არასწორად დასმული პრობლემა), მაშინ ასეთი პრობლემა წყდება სპეციალური რიცხვითი მეთოდებით.

კონტროლის ოპტიმალურ სისტემას, რომელსაც შეუძლია გამოცდილების დაგროვება და ამის საფუძველზე მუშაობის გაუმჯობესება, სწავლის ოპტიმალური კონტროლის სისტემა ეწოდება.

ობიექტის ან სისტემის რეალური ქცევა ყოველთვის განსხვავდება პროგრამულისგან საწყის პირობებში უზუსტობის, ობიექტზე მოქმედი გარე დარღვევების შესახებ არასრული ინფორმაციის, პროგრამის კონტროლის განხორციელების უზუსტობის გამო და ა.შ. ამიტომ, ობიექტის ქცევის ოპტიმალურიდან გადახრის შესამცირებლად, ჩვეულებრივ გამოიყენება ავტომატური მართვის სისტემა.

ზოგჯერ (მაგალითად, რთული ობიექტების მართვისას, როგორიცაა აფეთქების ღუმელი მეტალურგიაში ან ეკონომიკური ინფორმაციის გაანალიზებისას), საწყისი მონაცემები და ცოდნა კონტროლირებადი ობიექტის შესახებ ოპტიმალური მართვის პრობლემის დაყენებისას შეიცავს გაურკვეველ ან ბუნდოვან ინფორმაციას, რომელიც არ შეიძლება დამუშავდეს ტრადიციული გზით. რაოდენობრივი მეთოდები. ასეთ შემთხვევებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპტიმალური მართვის ალგორითმები, რომლებიც დაფუძნებულია საეჭვო სიმრავლეთა მათემატიკური თეორიაზე (Fuzzy control). გამოყენებული ცნებები და ცოდნა გარდაიქმნება ბუნდოვან ფორმაში, განისაზღვრება გადაწყვეტილებების გამოტანის ბუნდოვანი წესები და შემდეგ ბუნდოვანი გადაწყვეტილებები კვლავ გარდაიქმნება ფიზიკურ საკონტროლო ცვლადებად.

პროცესის ოპტიმალური კონტროლი (ლექცია)

ლექციის გეგმა

1. ფუნქციის კიდურების პოვნის ძირითადი ცნებები

2. კონტროლის ოპტიმალური მეთოდების კლასიფიკაცია

1. ფუნქციის კიდურების პოვნის ძირითადი ცნებები

ოპტიმალური ამოცანის ნებისმიერი მათემატიკური ფორმულირება ხშირად უტოლდება ან ექვივალენტურია ერთი ან მრავალი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი ნაწილის პოვნის პრობლემას. ამიტომ, ასეთი ოპტიმალური პრობლემების გადასაჭრელად შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა მეთოდებიექსტრემის ძიებაში.

ზოგადად, ოპტიმიზაციის პრობლემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

იპოვეთ R (x) ფუნქციის exttr, სადაც XX

R (x) – ეწოდება ობიექტური ფუნქცია ან ფუნქცია ან ოპტიმიზაციის კრიტერიუმი ან ოპტიმიზებული ფუნქცია

X არის დამოუკიდებელი ცვლადი.

როგორც ცნობილია, R (x) უწყვეტი ფუნქციის უკიდურესობის არსებობისთვის აუცილებელი პირობების მიღება შესაძლებელია პირველი წარმოებულის ანალიზიდან. ამ შემთხვევაში, R (x) ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი მნიშვნელობები X დამოუკიდებელი ცვლადის ისეთი მნიშვნელობებისთვის, სადაც პირველი წარმოებული 0-ის ტოლია. ე.ი. =0. გრაფიკულად, თუ წარმოებული არის ნული, ეს ნიშნავს, რომ R(x) მრუდის ტანგენსი ამ ეტაპზე აბსცისის პარალელურია.

წარმოებული =0 ტოლია აუცილებელი პირობაექსტრემალური.

თუმცა, წარმოებულის ტოლობა ნულამდე არ ნიშნავს, რომ ამ ეტაპზე არსებობს ექსტრემუმი. იმისათვის, რომ საბოლოოდ დავრწმუნდეთ, რომ ამ ეტაპზე ნამდვილად არის ექსტრემუმი, აუცილებელია ჩატარდეს დამატებითი კვლევა, რომელიც შედგება შემდეგი მეთოდებისგან:

1. ფუნქციის მნიშვნელობების შედარების მეთოდი

ფუნქციის R (x) მნიშვნელობა "საეჭვო" უკიდურეს წერტილში X K შედარებულია R (x) ფუნქციის ორ მეზობელ მნიშვნელობასთან X K-ε და X K+ε წერტილებში, სადაც ε არის პატარა. დადებითი ღირებულება. (ნახ. 2)

თუ R (X K+ε) და R (X K-ε) ორივე გამოთვლილი მნიშვნელობა R (X K) ნაკლები ან მეტი აღმოჩნდება, მაშინ X K წერტილში არის R ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური. (x).

თუ R (X K) აქვს შუალედური მნიშვნელობა R (X K-ε) და R (X K+ε) შორის, მაშინ R (x) ფუნქციას არ აქვს არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

2. წარმოებულების ნიშნების შედარების მეთოდი

კიდევ ერთხელ განვიხილოთ ფუნქცია R (X K) X K წერტილის სიახლოვეს, ე.ი. X K+ε და X K-ε. ამ მეთოდით განიხილება წარმოებულის ნიშანი X K წერტილის სიახლოვეს, თუ წარმოებულის ნიშნები X K-ε და X K + ε წერტილებში განსხვავებულია, მაშინ X K წერტილში არის ექსტრემუმი. ამ შემთხვევაში ექსტრემის ტიპი (მინ ან მაქსიმუმი) შეიძლება აღმოვაჩინოთ წარმოებულის ნიშნის შეცვლით X K-ε წერტილიდან X K+ε წერტილში გადასვლისას.

თუ ნიშანი „+“-დან „-“-მდე იცვლება, მაშინ X K წერტილში არის მაქსიმუმი (ნახ. 3ბ), თუ პირიქით „-“-დან „+“-მდე, მაშინ არის მინიმუმი. (ნახ. 3a)

3. უმაღლესი წარმოებულების ნიშნების შესწავლის მეთოდი.

ეს მეთოდი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც ექსტრემის "საეჭვო" წერტილში არის უმაღლესი რიგის წარმოებულები, ე.ი. ფუნქცია R (X K) არა მხოლოდ თავისთავად უწყვეტია, არამედ აქვს უწყვეტი წარმოებულები და .

მეთოდი ემყარება შემდეგს:

წერტილში X K"ეჭვმიტანილი" უკიდურესობამდე, რისთვისაც ეს მართალია

გამოითვლება მეორე წარმოებულის მნიშვნელობა.

თუ ამავე დროს , მაშინ X K წერტილში არის მაქსიმალური,

თუ , მაშინ X K წერტილში არის მინიმალური.

ოპტიმიზაციის პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნისას საჭიროა ვიპოვოთ არა ფუნქციის R (X K) მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა, არამედ ამ ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა, რომელსაც ეწოდება გლობალური ექსტრემუმი. (ნახ. 4)

ზოგად შემთხვევაში, ოპტიმიზაციის პრობლემა შედგება R (X) ფუნქციის ექსტრემის პოვნისგან, მათემატიკური მოდელის განტოლებებზე გარკვეული შეზღუდვების არსებობისას.

თუ R (X) წრფივია, ხოლო შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონი მითითებულია წრფივი ტოლობებითა და უტოლობებით, მაშინ ფუნქციის ექსტრემის პოვნის პრობლემა მიეკუთვნება ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანების კლასს.

ხშირად X სიმრავლე განისაზღვრება, როგორც ფუნქციების სისტემა

შემდეგ ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის მათემატიკური განცხადება ასე გამოიყურება:

თუ სამიზნე ფუნქცია R (X) ან რომელიმე შეზღუდვა არ არის წრფივი ფუნქცია, მაშინ R (X) ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ამოცანა ეკუთვნის არაწრფივი პროგრამირების ამოცანების კლასს.

თუ X ცვლადებზე შეზღუდვები არ არის დაწესებული, მაშინ ასეთ პრობლემას ეწოდება უპირობო ექსტრემალური პრობლემა.

მაგალითი ტიპიური დავალებაოპტიმიზაცია

პრობლემა მაქსიმალური მოცულობის ყუთთან დაკავშირებით.

ამ ბლანკიდან მის კუთხეებში უნდა ამოიჭრას ოთხი ლუწი კვადრატი და მიღებული ფიგურა (სურ. 5 ბ) ისე უნდა იყოს მოხრილი, რომ ჩამოყალიბდეს ყუთი ზედა სახურავის გარეშე (ნახ. 6.5 გ). ამ შემთხვევაში აუცილებელია ამოჭრილი კვადრატების ზომის შერჩევა, რათა მიიღოთ მაქსიმალური მოცულობის ყუთი.

ამ პრობლემის, როგორც მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვაჩინოთ ოპტიმიზაციის პრობლემების დაყენების ყველა ელემენტი.

ბრინჯი. 5. ფიქსირებული ზომის მართკუთხა ბლანკიდან ყუთის დამზადების სქემა

შეფასების ფუნქცია ამ პრობლემაში არის წარმოებული ყუთის მოცულობა. პრობლემა არის ამოჭრილი კვადრატების ზომის არჩევა. მართლაც, თუ მოჭრილი კვადრატების ზომა ძალიან მცირეა, მაშინ მიიღება დაბალი სიმაღლის ფართო ყუთი, რაც ნიშნავს, რომ მოცულობა მცირე იქნება. მეორეს მხრივ, თუ მოჭრილი კვადრატების ზომა ძალიან დიდია, თქვენ მიიღებთ ვიწრო ყუთს მაღალი სიმაღლე, რაც იმას ნიშნავს, რომ მისი მოცულობაც მცირე იქნება.

ამავდროულად, მოჭრილი კვადრატების ზომის არჩევაზე გავლენას ახდენს ორიგინალური სამუშაო ნაწილის ზომის შეზღუდვა. მართლაც, თუ ამოჭრით კვადრატებს ორიგინალური სამუშაო ნაწილის ნახევრის ტოლი გვერდით, მაშინ დავალება უაზრო ხდება. მოჭრილი კვადრატების მხარე ასევე არ უნდა აღემატებოდეს ორიგინალური სამუშაო ნაწილის გვერდების ნახევარს, რადგან ეს შეუძლებელია პრაქტიკული მიზეზების გამო. აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ პრობლემის ფორმულირება უნდა შეიცავდეს გარკვეულ შეზღუდვებს.

მაქსიმალური მოცულობის ყუთის ამოცანის მათემატიკური ფორმულირება. ამ პრობლემის მათემატიკურად ჩამოყალიბებისთვის აუცილებელია ყუთის გეომეტრიული ზომების დამახასიათებელი რამდენიმე პარამეტრის გათვალისწინება. ამ მიზნით პრობლემის არსებით ფორმულირებას შესაბამისი პარამეტრებით შევავსებთ. ამ მიზნით განვიხილავთ მოქნილი მასალისგან დამზადებულ კვადრატულ ბლანკს, რომელსაც აქვს გვერდის სიგრძე L (ნახ. 6). ამ ცარიელიდან უნდა ამოჭრათ ოთხი თანაბარი კვადრატი მის კუთხეებში გვერდით და მოხაროთ მიღებული ფიგურა ისე, რომ მიიღოთ ყუთი ზედა საფარის გარეშე. ამოცანაა შეარჩიოთ მოჭრილი კვადრატების ზომა ისე, რომ შედეგი იყოს მაქსიმალური მოცულობის ყუთი.

ბრინჯი. 6. დამზადების დიაგრამა მართკუთხა ბლანკიდან მისი ზომების მითითებით

ამ პრობლემის მათემატიკურად ჩამოყალიბებისთვის საჭიროა შესაბამისი ოპტიმიზაციის პრობლემის ცვლადების განსაზღვრა, ობიექტური ფუნქციის დაყენება და შეზღუდვების დაზუსტება. როგორც ცვლადი, უნდა ავიღოთ მოჭრილი კვადრატის r გვერდის სიგრძე, რომელიც ზოგად შემთხვევაში, ამოცანის შინაარსიანი ფორმულირებიდან გამომდინარე, იღებს უწყვეტ რეალურ მნიშვნელობებს. ობიექტური ფუნქცია არის მიღებული ყუთის მოცულობა. ვინაიდან ყუთის ფუძის გვერდის სიგრძე უდრის: L - 2r, ხოლო ყუთის სიმაღლე უდრის r, მაშინ მისი მოცულობა იპოვება ფორმულით: V (r) = (L -2r) 2 რ. ფიზიკური მოსაზრებებიდან გამომდინარე, r ცვლადის მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს უარყოფითი და აღემატებოდეს ორიგინალური სამუშაო ნაწილის L ზომის ნახევარს, ე.ი. 0.5ლ.

r = 0 და r = 0.5 L მნიშვნელობებისთვის, გამოსახულია ყუთის პრობლემის შესაბამისი გადაწყვეტილებები. მართლაც, პირველ შემთხვევაში სამუშაო ნაწილი უცვლელი რჩება, მაგრამ მეორე შემთხვევაში ის იჭრება 4 იდენტურ ნაწილად. ვინაიდან ამ ამონახსნებს აქვთ ფიზიკური ინტერპრეტაცია, ყუთის პრობლემა, მისი ფორმულირებისა და ანალიზის მოხერხებულობისთვის, შეიძლება ჩაითვალოს ოპტიმიზაციად ისეთი შეზღუდვით, როგორიცაა არა მკაცრი უტოლობები.

გაერთიანების მიზნით ცვლადს აღვნიშნავთ x = r-ით, რაც არ ახდენს გავლენას მოგვარებული ოპტიმიზაციის პრობლემის ბუნებაზე. შემდეგ მაქსიმალური მოცულობის ყუთის ამოცანის მათემატიკური ფორმულირება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

სად (1)

ამ ამოცანის ობიექტური ფუნქცია არაწრფივია, ამიტომ ყუთის პრობლემა მაქსიმალური ზომამიეკუთვნება არაწრფივი პროგრამირების ან არაწრფივი ოპტიმიზაციის ამოცანების კლასს.

2. კონტროლის ოპტიმალური მეთოდების კლასიფიკაცია

პროცესის ოპტიმიზაცია მოიცავს მოცემული ფუნქციის ოპტიმუმის პოვნას ან ოპტიმალური პირობებიამ პროცესის განხორციელება.

ოპტიმუმის შესაფასებლად, პირველ რიგში, აუცილებელია ოპტიმიზაციის კრიტერიუმის შერჩევა. როგორც წესი, ოპტიმიზაციის კრიტერიუმი შეირჩევა კონკრეტული პირობებიდან. ეს შეიძლება იყოს ტექნოლოგიური კრიტერიუმი (მაგალითად, Cu შემცველობა ნაგავსაყრელ წიდაში) ან ეკონომიკური კრიტერიუმი (პროდუქტის მინიმალური ღირებულება მოცემულ შრომის პროდუქტიულობაზე) და ა.შ. შერჩეული ოპტიმიზაციის კრიტერიუმიდან გამომდინარე, შედგენილია ობიექტური ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს ოპტიმიზაციის კრიტერიუმის დამოკიდებულება მის მნიშვნელობაზე მოქმედ პარამეტრებზე. ოპტიმიზაციის პრობლემა ექსტრემის პოვნაზე მოდის ობიექტური ფუნქცია. განხილული მათემატიკური მოდელების ბუნებიდან გამომდინარე, მიღებულია მათემატიკური ოპტიმიზაციის სხვადასხვა მეთოდი.

ოპტიმიზაციის პრობლემის ზოგადი ფორმულირება შემდეგია:

1. აირჩიეთ კრიტერიუმი

2. შედგენილია მოდელის განტოლება

3. დაწესებულია შეზღუდვის სისტემა

4. გამოსავალი

მოდელი - წრფივი ან არაწრფივი

შეზღუდვები

მოდელის სტრუქტურიდან გამომდინარე, გამოიყენება ოპტიმიზაციის სხვადასხვა მეთოდი. Ესენი მოიცავს:

1. ანალიტიკური ოპტიმიზაციის მეთოდები (ექსტრემის ანალიტიკური ძიება, ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი, ვარიაციული მეთოდები)

2. მათემატიკური პროგრამირება (წრფივი პროგრამირება, დინამიური პროგრამირება)

3. გრადიენტური მეთოდები.

4. სტატისტიკური მეთოდები (რეგრესული ანალიზი)

ხაზოვანი პროგრამირება. ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანებში ოპტიმალური კრიტერიუმი წარმოდგენილია შემდეგნაირად:

სადაც მოცემულია მუდმივი კოეფიციენტები; დავალების ცვლადები.

მოდელის განტოლებები არის ფორმის წრფივი განტოლებები (პოლინომები). რომლებიც ექვემდებარება შეზღუდვებს თანასწორობის ან უთანასწორობის სახით, ე.ი. (2)

ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანებში ჩვეულებრივ ვარაუდობენ, რომ ყველა დამოუკიდებელი ცვლადი X j არის არაუარყოფითი, ე.ი.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის ოპტიმალური გადაწყვეტა არის დამოუკიდებელი ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობების ნაკრები.

რომელიც აკმაყოფილებს (2) პირობებს და, პრობლემის ფორმულირებიდან გამომდინარე, უზრუნველყოფს კრიტერიუმის მაქსიმალურ ან მინიმალურ მნიშვნელობას.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შემდეგია: - კრიტერიუმი X 1 და X 2 ცვლადებზე შეზღუდვების არსებობის ტოლობისა და უტოლობის ტიპის

R-ს აქვს მუდმივი მნიშვნელობა l ხაზის გასწვრივ. ოპტიმალური გადაწყვეტაიქნება S წერტილში, რადგან ამ ეტაპზე კრიტერიუმი იქნება მაქს.წრფივი პროგრამირების ოპტიმიზაციის ამოცანის ამოხსნის ერთ-ერთი მეთოდი სიმპლექსის მეთოდია.

არაწრფივი პროგრამირება. არაწრფივი პროგრამირების ამოცანის მათემატიკური ფორმულირება ასეთია: იპოვეთ ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი , რომელსაც არაწრფივობის ფორმა აქვს.

დამოუკიდებელ ცვლადებზე დაწესებულია სხვადასხვა შეზღუდვები, როგორიცაა თანასწორობა ან უთანასწორობა

ამჟამად არაწრფივი პროგრამირების პრობლემების გადასაჭრელად გამოიყენება საკმაოდ დიდი რაოდენობით მეთოდები.

ეს მოიცავს: 1) გრადიენტურ მეთოდებს (გრადიენტული მეთოდი, ყველაზე ციცაბო დაღმართის მეთოდი, გამოსახულების მეთოდი, როზენბროკის მეთოდი და ა.შ.)

2) გრადიენტისგან თავისუფალი მეთოდები (Gauss-Seidel მეთოდი, სკანირების მეთოდი).

გრადიენტური ოპტიმიზაციის მეთოდები

ეს მეთოდები მიეკუთვნება ძიების ტიპის რიცხვით მეთოდებს. ამ მეთოდების არსი არის დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების განსაზღვრა, რომლებიც იძლევიან ყველაზე დიდ (უმცირეს) ცვლილებას ობიექტურ ფუნქციაში. ეს ჩვეულებრივ მიიღწევა გრადიენტის ორთოგონალურად გადაადგილებით კონტურის ზედაპირზე მოცემულ წერტილში.

განვიხილოთ გრადიენტური მეთოდი. ეს მეთოდი იყენებს ობიექტური ფუნქციის გრადიენტს. გრადიენტულ მეთოდში ნაბიჯები იდგმება ობიექტური ფუნქციის ყველაზე სწრაფი შემცირების მიმართულებით.

ბრინჯი. 8. მინიმალურის პოვნა გრადიენტური მეთოდით

ოპტიმალურის ძიება ორ ეტაპად მიმდინარეობს:

ეტაპი 1: - იპოვნეთ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობები ყველა დამოუკიდებელი ცვლადისთვის, რომელიც განსაზღვრავს გრადიენტის მიმართულებას განსახილველ წერტილში.

ეტაპი 2: - გადაიდგმება ნაბიჯი გრადიენტის მიმართულების საპირისპირო მიმართულებით, ე.ი. ობიექტური ფუნქციის ყველაზე სწრაფი კლების მიმართულებით.

გრადიენტური მეთოდის ალგორითმი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

(3)

ყველაზე ციცაბო დაღმართის მეთოდით ოპტიმალური მიმართულებით მოძრაობის ბუნება ასეთია (ნახ. 6.9), მას შემდეგ, რაც ოპტიმიზირებული ფუნქციის გრადიენტი აღმოჩნდება საწყის წერტილში და ამით განისაზღვრება მისი უსწრაფესი კლების მიმართულება მითითებულ წერტილში. დაღმავალი ნაბიჯი გადაიდგმება ამ მიმართულებით. თუ ამ ნაბიჯის შედეგად ფუნქციის მნიშვნელობა მცირდება, მაშინ გადაიდგმება მეორე ნაბიჯი იმავე მიმართულებით და ასე გრძელდება მანამ, სანამ არ მოიძებნება ამ მიმართულებით მინიმუმი, რის შემდეგაც კვლავ გამოითვლება გრადიენტი და უსწრაფესი ახალი მიმართულება. განისაზღვრება ობიექტური ფუნქციის შემცირება.

ექსტრემის ძიების გრადიენტის გარეშე მეთოდები. ეს მეთოდები, გრადიენტური მეთოდებისგან განსხვავებით, იყენებენ ძიების პროცესში მიღებულ ინფორმაციას არა წარმოებულების ანალიზით, არამედ ოპტიმალური კრიტერიუმის მნიშვნელობის შედარებითი შეფასებით, შემდეგი ნაბიჯის შესრულების შედეგად.

ექსტრემის ძიების გრადიენტისგან თავისუფალი მეთოდები მოიცავს:

1. ოქროს თანაფარდობის მეთოდი

2. მეთოდი ფიბონიუმის რიცხვების გამოყენებით

3. გაუს-ზაიდელის მეთოდი (ცვლადის ცვლილების მიღების მეთოდი)

4. სკანირების მეთოდი და ა.შ.