Podnikatelský plán 

Management zajišťuje optimální ovladatelnost systému. Optimální systémy automatického řízení. Podívejte se, co je „Optimální ovládání“ v jiných slovnících

Obecně se automatický systém skládá z řídicího objektu a sady zařízení, která zajišťují řízení tohoto objektu. Tato sada zařízení zpravidla zahrnuje měřicí zařízení, zesilovací a převodní zařízení a také akční členy. Pokud tato zařízení spojíme do jednoho spoje (řídícího zařízení), pak blokové schéma systému vypadá takto:

V automatický systém informace o stavu řízeného objektu jsou přiváděny na vstup řídicího zařízení prostřednictvím měřicího zařízení. Takové systémy se nazývají zpětnovazební systémy nebo uzavřené systémy. Absence této informace v řídicím algoritmu znamená, že systém je otevřený. Kdykoli popíšeme stav řídicího objektu proměnné
, které se nazývají systémové souřadnice nebo stavové proměnné. Je vhodné je považovat za souřadnice - rozměrový stavový vektor.

Měřící zařízení poskytuje informace o stavu objektu. Pokud je založeno na vektorovém měření
hodnoty všech souřadnic lze nalézt
stavový vektor
, pak je systém prý zcela pozorovatelný.

Řídicí zařízení generuje řídicí akci
. Těchto kontrolních akcí může být několik; - vektor řízení rozměrů.

Vstup řídicího zařízení přijímá referenční vstup
. Tato vstupní akce nese informaci o tom, jaký by měl být stav objektu. Řídicí objekt může být vystaven rušivému vlivu
, což představuje zátěž nebo poruchu. Měření souřadnic objektu se obvykle provádí s určitými chybami
, které jsou také náhodné.

Úkolem řídicího zařízení je vyvinout takovou řídicí akci
tak, aby kvalita fungování automatického systému jako celku byla v určitém smyslu nejlepší.

Budeme uvažovat řídicí objekty, které jsou ovladatelné. To znamená, že stavový vektor lze změnit podle potřeby odpovídající změnou řídicího vektoru. Budeme předpokládat, že objekt je zcela pozorovatelný.

Například poloha letadla je charakterizována šesti stavovými souřadnicemi. Tento
- souřadnice těžiště,
- Eulerovy úhly, které určují orientaci letadla vzhledem k těžišti. Polohu letadla lze měnit pomocí výškovek, kurzu, křidélek a vektorování tahu. Řídicí vektor je tedy definován takto:

- úhel vychýlení výškovky

- studna

- křidélko

- trakce

Stavový vektor
v tomto případě je definován takto:

Problémem může být výběr řízení, pomocí kterého se letadlo přenese z daného výchozího stavu
do daného konečného stavu
S minimální náklady paliva nebo v minimálním čase.

Další složitost při řešení technických problémů vzniká tím, že na řídící akci a na stavové souřadnice řídícího objektu jsou zpravidla uvalena různá omezení.

Existují omezení pro jakýkoli úhel výškovek, vybočení a křidélek:



- samotná trakce je omezená.

Stavové souřadnice řídicího objektu a jejich odvozeniny také podléhají omezením, která jsou spojena s povoleným přetížením.

Budeme uvažovat řídicí objekty, které jsou popsány diferenciální rovnicí:


(1)

Nebo ve vektorové podobě:

--rozměrný vektor stavu objektu

--rozměrný vektor řídících akcí

- funkce pravé strany rovnice (1)

K řídicímu vektoru
je uvaleno omezení, budeme předpokládat, že jeho hodnoty patří do nějaké uzavřené oblasti nějaký -rozměrný prostor. To znamená, že výkonná funkce
patří do regionu kdykoliv (
).

Pokud tedy například souřadnice řídicí funkce splňují nerovnosti:


pak oblast je -rozměrná krychle.

Nazvěme jakoukoli po částech spojitou funkci přípustnou kontrolou
, jehož hodnoty v každém okamžiku času patří do regionu a které mohou mít diskontinuity prvního druhu. Ukazuje se, že i v některých problémech optimálního řízení lze získat řešení ve třídě po částech spojitého řízení. Pro výběr ovládání
jako funkce času a počátečního stavu systému
, který jednoznačně určuje pohyb řídicího objektu, je požadováno, aby soustava rovnic (1) splňovala podmínky věty o existenci a jednoznačnosti řešení v ploše.
. Tato oblast obsahuje možné trajektorie pohybu objektu a možné ovládací funkce.
. Je-li variační obor proměnných konvexní, pak pro existenci a jednoznačnost řešení stačí, aby funkce

. byly spojité ve všech argumentech a měly spojité parciální derivace s ohledem na proměnné

.

Jako kritérium, které charakterizuje kvalitu provozu systému, je vybrána funkce formuláře:

(2)

Jako funkce
budeme předpokládat, že je spojitá ve všech svých argumentech a má spojité parciální derivace vzhledem k

.

Pro návrh optimálního automatického řídicího systému jsou nutné úplné informace o operačním zesilovači, rušivých a hlavních vlivech a počátečních a konečných stavech operačního zesilovače. Dále musíte vybrat kritérium optimality. Jako takové kritérium lze použít jeden z indikátorů kvality systému. Požadavky na jednotlivé ukazatele kvality jsou však obvykle protichůdné (např. zvýšení přesnosti systému je dosaženo snížením rezervy stability). Optimální systém by navíc měl mít minimum možná chyba nejen při vypracování konkrétního regulačního zásahu, ale po celou dobu provozu systému. Je třeba také vzít v úvahu, že řešení problému optimálního řízení závisí nejen na struktuře systému, ale také na parametrech jeho prvků.

Dosažení optimálního fungování ACS je do značné míry dáno tím, jak řízení probíhá v čase, jaký je program, popř. řídicí algoritmus. V tomto ohledu se pro posouzení optimálnosti systémů používají integrální kritéria, vypočítaná jako součet hodnot parametru kvality systému, který zajímá projektanty, za celou dobu procesu řízení.

V závislosti na přijatém kritériu optimality uvažujeme následující typy optimální systémy.

1. Systémy, optimální pro výkon, které poskytují minimální dobu pro přenos operačního zesilovače z jednoho stavu do druhého. V tomto případě kritérium optimality vypadá takto:

kde / n a / k jsou okamžiky začátku a konce řídicího procesu.

V takových systémech je trvání kontrolního procesu minimální. Nejjednodušším příkladem je systém řízení motoru, který poskytuje minimální čas pro zrychlení na danou rychlost s přihlédnutím ke všem existujícím omezením.

2. Systémy, optimální z hlediska spotřeby zdrojů, které zaručují minimální kritérium

Kde Na- koeficient proporcionality; U(t)- kontrolní akce.

Takový systém řízení motoru zajišťuje například minimální spotřebu paliva po celou dobu regulace.

3. Systémy, optimální z hlediska ztrát řízení(nebo přesnost), které poskytují minimální chyby řízení na základě kritéria, kde e(f) je dynamická chyba.

V zásadě lze problém návrhu optimálního automatického řídicího systému vyřešit nejjednodušší metodou výčtu všech možné možnosti. Tato metoda samozřejmě vyžaduje vysoké nákladyčasu, ale moderní počítače jej v některých případech umožňují. Pro řešení optimalizačních problémů byly vyvinuty speciální metody variačního počtu (metoda maxima, metoda dynamického programování atd.), které umožňují zohlednit všechna omezení reálných systémů.

Jako příklad uveďme, jaká by měla být optimální regulace otáček stejnosměrného elektromotoru, pokud je napětí, které je do něj přiváděno, omezeno mezní hodnotou (/lr a samotný motor lze reprezentovat jako aperiodický spoj 2. řádu (obr. 13.9, A).

Metoda maxima umožňuje vypočítat zákon změny u(d), zajištění minimální doby pro zrychlení motoru na otáčky (obr. 13.9, b). Proces řízení tohoto motoru se musí skládat ze dvou intervalů, v každém z nich napětí u(t) nabývá maximální přípustné hodnoty (v intervalu 0 - /,: u(t)= +?/ ex, v intervalu /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* Pro zajištění takového ovládání musí být v systému zahrnut reléový prvek.

Stejně jako konvenční systémy jsou optimální systémy s otevřenou smyčkou, uzavřenou smyčkou a kombinované. Pokud lze jako funkci času specifikovat optimální řízení, které převádí operační zesilovač z počátečního stavu do konečného stavu a je nezávislé nebo slabě závislé na rušivých vlivech U= (/(/), pak postavíme systém s otevřenou smyčkou ovládání programu (obr. 13.10, A).

Optimální program P, navržený pro dosažení extrému přijatého kritéria optimality, je zabudován do softwarového zařízení PU. Podle tohoto schématu se provádí řízení


Rýže. 13.9.

A- se společným ovládacím zařízením; b - s dvouúrovňovým ovladačem

přístroj

Rýže. 13.10. Schémata optimálních systémů: A- OTEVŘENO; b- kombinované

pomocí numericky řízených strojů a jednoduchých robotů, vypouštění raket na oběžnou dráhu atp.

Nejpokročilejší, i když také nejsložitější, jsou kombinované optimální systémy(obr. 13.10, b). V takových systémech otevřená smyčka provádí optimální řízení podle daného programu a uzavřená smyčka optimalizovaná pro minimalizaci chyb zpracovává odchylky výstupních parametrů. Pomocí lana měření rušení /* se systém stává invariantním vzhledem k celému souboru hnacích a rušivých vlivů.

Pro realizaci takto dokonalého řídicího systému je nutné přesně a rychle změřit všechny rušivé vlivy. Tato možnost však není vždy dostupná. Mnohem častěji jsou o rušivých vlivech známy pouze zprůměrované statistické údaje. V mnoha případech, zejména v systémech dálkového ovládání, dokonce i hnací síla vstupuje do systému spolu s hlukem. A protože interference je obecně náhodný proces, je možné ji pouze syntetizovat statisticky optimální systém. Takový systém nebude optimální pro každý konkrétní implementaci kontrolního procesu, ale bude v průměru nejlepší pro celý soubor jeho implementací.

Pro statisticky optimální systémy se jako kritérium optimality používají průměrné pravděpodobnostní odhady. Například pro sledovací systém optimalizovaný pro minimální chybu se jako statistické kritérium pro optimalitu použije matematické očekávání druhé mocniny odchylky výstupního účinku od zadané hodnoty, tzn. rozptyl:

Používají se i další pravděpodobnostní kritéria. Například v systému detekce cíle, kde je důležitá pouze přítomnost nebo nepřítomnost cíle, se jako kritérium optimality používá pravděpodobnost chybného rozhodnutí. Rosh:

Kde R p ts je pravděpodobnost minutí cíle; R LO- pravděpodobnost falešné detekce.

Vypočtené optimální systémy automatického řízení se v mnoha případech pro jejich složitost ukazují jako prakticky nemožné. Zpravidla je požadováno získat přesné hodnoty derivací vyšších řádů ze vstupních vlivů, což je technicky velmi obtížně realizovatelné. Často se dokonce i teoretická exaktní syntéza optimálního systému ukáže jako nemožná. Optimální metody návrhu však umožňují budovat kvazi-optimální systémy, i když jsou do té či oné míry zjednodušené, ale přesto umožňují dosáhnout hodnot přijatých kritérií optimality, které se blíží extrému.

Definice a nutnost budování optimálních systémů automatického řízení

Automatické řídicí systémy jsou obvykle navrhovány na základě požadavků na zajištění určitých ukazatelů kvality. V mnoha případech je pomocí korekčních zařízení dosaženo potřebného zvýšení dynamické přesnosti a zlepšení přechodových procesů automatických řídicích systémů.

Zvláště dostatek příležitostí Zlepšení indikátorů kvality je dosaženo zavedením kompenzačních kanálů s otevřenou smyčkou a diferenciálních spojení do ACS, syntetizovaných z jedné nebo druhé podmínky neměnnosti chyby s ohledem na hlavní nebo rušivé vlivy. Vliv korekčních zařízení, otevřených kompenzačních kanálů a ekvivalentních diferenciálních spojení na indikátory kvality ACS však závisí na úrovni omezení signálu nelineárními prvky systému. Výstupní signály rozlišovacích zařízení, obvykle krátkého trvání a významné amplitudy, jsou omezeny na prvky systému a nevedou ke zlepšení ukazatelů kvality systému, zejména jeho rychlosti. nejlepší skóre Takzvané optimální řízení poskytuje řešení problému zvyšování ukazatelů kvality automatického řídicího systému za přítomnosti omezení signálu.

Problém syntézy optimálních systémů byl striktně formulován relativně nedávno, kdy byl definován koncept kritéria optimality. V závislosti na cíli řízení jsou různé technické popř ekonomické ukazateleřízený proces. V optimálních systémech je zajištěno nejen mírné zvýšení toho či onoho technicko-ekonomického ukazatele kvality, ale dosažení jeho minimální či maximální možné hodnoty.

Pokud kritérium optimality vyjadřuje technické a ekonomické ztráty (systémové chyby, doba přechodu, spotřeba energie, finanční prostředky, náklady atd.), pak optimální řízení bude takové, které poskytuje minimální kritérium optimality. Pokud vyjadřuje ziskovost (efektivita, produktivita, zisk, dostřel střel atd.), pak by optimální řízení mělo poskytovat maximální kritérium optimality.

Problém stanovení optimálního automatického řídicího systému, zejména syntéza optimálních parametrů systému, když je na jeho vstupu přijat master

vliv a interference, což jsou stacionární náhodné signály, byly uvažovány v kap. 7. Připomeňme, že v v tomto případě Jako kritérium optimality se bere střední kvadratická chyba (RMSE). Podmínky pro zvýšení přesnosti reprodukce užitečného signálu (upřesnění vlivu) a potlačení rušení jsou rozporuplné, a proto vyvstává úkol zvolit takové (optimální) parametry systému, při kterých má směrodatná odchylka nejmenší hodnotu.

Syntéza optimálního systému s kritériem střední kvadratické optimality je soukromý problém. Obecné metody syntéza optimálních systémů je založena na variačním počtu. Klasické metody variačního počtu pro řešení moderních praktických problémů, které vyžadují zohlednění omezení, se však v mnoha případech ukazují jako nevhodné. Nejvhodnějšími metodami pro syntézu optimálních automatických řídicích systémů jsou Bellmanova metoda dynamického programování a Pontryaginův princip maxima.

Spolu s problémem zlepšování různých ukazatelů kvality automatických řídicích systémů tak vyvstává problém sestrojit optimální systémy, ve kterých je dosahováno extrémní hodnoty toho či onoho technicko-ekonomického ukazatele kvality.

Vývoj a implementace optimálních systémů automatického řízení napomáhá ke zvýšení efektivity využití výrobních jednotek, zvýšení produktivity práce, zlepšení kvality výrobků, úspoře energie, paliva, surovin atd.

Koncepty o fázovém stavu a fázové trajektorii objektu

V technologii často vyvstává úkol přenést řízený objekt (proces) z jednoho stavu do druhého. Například při zaměřování potřebujete anténu radarová stanice otočit z výchozí polohy s počátečním azimutem do určené polohy s azimutem K tomu je přes převodovku přiváděno řídicí napětí do elektromotoru připojeného k anténě. V každém časovém okamžiku je stav antény charakterizován aktuální hodnotou úhlu natočení a úhlové rychlosti Tyto dvě veličiny se mění v závislosti na řídicím napětí a. Jsou zde tedy tři vzájemně propojené parametry a (obr. 11.1).

Veličiny charakterizující stav antény se nazývají fázové souřadnice a - řídící akce. Při určení cíle radarem, jako je naváděcí stanice děla, vyvstává úkol natočit anténu v azimutu a elevaci. V tomto případě budeme mít čtyři fázové souřadnice objektu a dvě ovládací akce. U létajícího letadla můžeme uvažovat šest fázových souřadnic (tři prostorové souřadnice a tři složky rychlosti) a několik řídicích akcí (tah motoru, veličiny charakterizující polohu kormidel

Rýže. 11.1. Diagram objektu s jednou řídicí akcí a dvěma fázovými souřadnicemi.

Rýže. 11.2. Schéma objektu s řídícími akcemi a fázovými souřadnicemi.

Rýže. 11.3. Diagram objektu s vektorovým obrázkem řídící akce a fázového stavu objektu

výška a směr, křidélka). V obecném případě je stav objektu v každém okamžiku charakterizován fázovými souřadnicemi a na objekt lze aplikovat řídicí akce (obr. 11.2).

Přenos řízeného objektu (procesu) z jednoho stavu do druhého je třeba chápat nejen jako mechanický pohyb (například antény radaru, letadla), ale také jako požadovanou změnu v různých fyzikální veličiny: teplota, tlak, vlhkost v kabině, chemické složení jedné nebo druhé suroviny vhodným řízeným technologickým postupem.

Je vhodné uvažovat řídicí akce jako souřadnice určitého vektoru nazývaného vektor řídicí akce. Fázové souřadnice (stavové proměnné) objektu lze také považovat za souřadnice určitého vektoru nebo bodu v -rozměrném prostoru se souřadnicemi Tento bod se nazývá fázový stav (stavový vektor) objektu a -rozměrný prostor ve kterém jsou fázové stavy znázorněny ve formě bodů, se nazývá fázový prostor (stavový prostor) uvažovaného objektu. Při použití vektorových obrázků může být řízený objekt znázorněn tak, jak je znázorněno na Obr. 11.3, kde a je řídicí akční vektor a představuje bod ve fázovém prostoru, který charakterizuje fázový stav objektu. Pod vlivem řídicí akce se fázový bod pohybuje a popisuje určitou čáru ve fázovém prostoru, nazývanou fázová trajektorie uvažovaného pohybu objektu.

Problémy optimálního řízení se týkají teorie extremálních problémů, tedy problémů určování maximálních a minimálních hodnot. Samotný fakt, že v tomto slovním spojení bylo nalezeno několik latinských slov (maximum - největší, minimum - nejmenší, extrém - extrémní, optimus - optimální), svědčí o tom, že teorie extremálních problémů byla předmětem zkoumání již od starověku. O některých z těchto problémů psali Aristoteles (384-322 př. n. l.), Euclid (3. století př. n. l.) a Archimedes (287-212 př. n. l.). Legenda spojuje založení města Kartága (825 př. n. l.) s prastarým problémem stanovení uzavřené rovinné křivky obepínající obrazec o maximální možné ploše. Takové problémy se nazývají izoperimetrické.

Charakteristickým rysem extrémních problémů je, že jejich formulace byla generována aktuálními požadavky na rozvoj společnosti. Navíc od 17. století převládala myšlenka, že zákony světa kolem nás jsou důsledkem určitých variačních principů. Prvním z nich byl princip P. Fermata (1660), podle kterého by dráha světla šířícího se z jednoho bodu do druhého měla být taková, aby doba průchodu světla po této dráze byla co nejkratší. Následně byly navrženy různé variační principy široce používané v přírodních vědách, např.: princip stacionárního působení U.R. Hamilton (1834), princip virtuálních pohybů, princip nejmenšího donucení atd. Současně byly vyvinuty metody řešení extremálních problémů. Kolem roku 1630 Fermat formuloval metodu pro studium extrému polynomů, která spočívá v tom, že v extrémním bodě je derivace rovna nule. Pro obecný případ tuto metodu získali I. Newton (1671) a G.V. Leibniz (1684), jehož díla znamenají narození matematická analýza. Počátek vývoje klasického variačního počtu se datuje od roku 1696, kdy se objevil článek I. Bernoulliho (student Leibnize), který formuloval problém křivky spojující dva body A a B, pohybující se podél který z bodu A do B vlivem gravitace hmotný bod dosáhne B v co nejkratším čase.

V rámci klasického variačního počtu v 18.-19. století byly vytvořeny nezbytné podmínky pro extrém prvního řádu (L. Euler, J.L. Lagrange), později byly vytvořeny nutné a postačující podmínky druhého řádu ( K.T.V. Weierstrass, A.M. Legendre, K.G.Ya Jacobi), teorie Hamilton-Jacobi a teorie pole (D. Gilbert, A. Kneser. Další vývoj teorie extremálních problémů vedla ve 20. století k vytvoření lineárního programování, konvexní analýzy, matematického programování, teorie minimaxu a některých dalších oblastí, z nichž jednou je teorie optimálního řízení.

Tato teorie, stejně jako další oblasti teorie extremálních problémů, vznikla v souvislosti se současnými problémy automatického řízení na konci 40. let (ovládání výtahu v dole tak, aby jej co nejrychleji zastavil, řízení pohybu raket, stabilizace výkonu vodních elektráren atd.). Všimněte si, že s konstatováním jednotlivých problémů, které lze interpretovat jako problémy s optimálním řízením, jsme se setkali dříve, například v I. Newtonově „Mathematical Principles of Natural Philosophy“ (1687). Patří sem také problém R. Goddarda (1919) zvednout raketu do dané výšky s minimální spotřebou paliva a jeho dvojí problém zvednout raketu do dané výšky maximální výška pro dané množství paliva. V minulosti byly stanoveny základní principy teorie optimálního řízení: princip maxima a metoda dynamického programování.

Tyto principy představují vývoj klasického variačního počtu pro studium problémů obsahujících komplexní omezení řízení.

Nyní teorie optimálního řízení prochází obdobím rychlý vývoj jak kvůli přítomnosti obtížných a zajímavých matematických problémů, tak kvůli velkému množství aplikací, a to i v takových oblastech, jako je ekonomie, biologie, medicína, nukleární energie atd.

Všechny problémy optimálního řízení lze považovat za problémy matematického programování a v této podobě je lze řešit pomocí numerických metod.

S optimálním řízením hierarchických víceúrovňových systémů, například velkých chemická výroba, hutní a energetické komplexy, používají se víceúčelové a víceúrovňové hierarchické optimální systémy řízení. Do matematického modelu jsou zavedena kritéria kvality řízení pro každou úroveň řízení a pro celý systém jako celek, stejně jako koordinace činností mezi úrovněmi řízení.

Pokud je řízený objekt nebo proces deterministický, pak se k jeho popisu používají diferenciální rovnice. Nejčastěji se používají obyčejné diferenciální rovnice tvaru. Ve složitějších matematických modelech (pro systémy s distribuovanými parametry) se k popisu objektu používají parciální diferenciální rovnice. Pokud je řízený objekt stochastický, pak se k jeho popisu použijí stochastické diferenciální rovnice.

Pokud řešení daného problému optimálního řízení není plynule závislé na počátečních datech (špatně položený problém), pak se takový problém řeší speciálními numerickými metodami.

Optimální řídicí systém, který je schopen shromažďovat zkušenosti a na tomto základě zlepšovat svou práci, se nazývá učící se optimální řídicí systém.

Reálné chování objektu nebo systému se vždy liší od programového z důvodu nepřesnosti výchozích podmínek, neúplných informací o vnějších poruchách působících na objekt, nepřesnosti v provádění programového řízení atd. Proto se pro minimalizaci odchylky chování objektu od optimálního obvykle používá automatický řídicí systém.

Někdy (například při řízení složitých objektů, jako je vysoká pec v metalurgii nebo při analýze ekonomických informací), počáteční data a znalosti o kontrolovaném objektu při nastavení optimálního řídicího problému obsahují nejisté nebo nejasné informace, které nelze zpracovat tradičními kvantitativní metody. V takových případech lze použít optimální řídicí algoritmy založené na matematické teorii fuzzy množin (Fuzzy řízení). Použité pojmy a znalosti jsou převedeny do fuzzy formy, jsou určena fuzzy pravidla pro odvozování rozhodnutí a následně jsou fuzzy rozhodnutí převedena zpět na fyzikální řídicí proměnné.

Optimální řízení procesu (přednáška)

PLÁN PŘEDNÁŠEK

1. Základní pojmy hledání extrému funkce

2. Klasifikace optimálních metod řízení

1. Základní pojmy hledání extrému funkce

Jakákoli matematická formulace optimálního problému je často stejná nebo ekvivalentní problému nalezení extrému funkce jedné nebo mnoha nezávislých proměnných. Proto lze k řešení takových optimálních problémů použít různé metody hledání extrému.

Obecně je problém optimalizace formulován takto:

Najděte extr funkce R (x), kde XX

R (x) – nazývá se cílová funkce nebo funkce nebo optimalizační kritérium nebo optimalizovaná funkce

X je nezávislá proměnná.

Jak známo, nezbytné podmínky pro existenci extrému spojité funkce R(x) lze získat z analýzy první derivace. V tomto případě může mít funkce R(x) extrémní hodnoty pro takové hodnoty nezávisle proměnné X, kde první derivace je rovna 0, tzn. =0. Graficky, pokud je derivace nulová, znamená to, že tečna ke křivce R(x) je v tomto bodě rovnoběžná s úsečkou.

Derivace =0 se rovná nutná podmínka extrém.

Rovnost derivace na nulu však neznamená, že v tomto bodě existuje extrém. Abychom se konečně ujistili, že v tomto bodě skutečně existuje extrém, je nutné provést další výzkum, který se skládá z následujících metod:

1. Metoda porovnávání funkčních hodnot

Hodnota funkce R (x) v „podezřelém“ bodě extrému X K je porovnána se dvěma sousedními hodnotami funkce R (x) v bodech X K-ε a X K+ε, kde ε je malé kladná hodnota. (obr. 2)

Pokud se obě vypočtené hodnoty R (X K+ε) a R (X K-ε) ukážou být menší nebo větší než R (X K), pak v bodě X K existuje maximum nebo minimum funkce R (X).

Jestliže R (X K) má střední hodnotu mezi R (X K-ε) a R (X K+ε), pak funkce R (x) nemá ani maximum, ani minimum.

2. Metoda porovnávání znamének derivací

Uvažujme opět funkci R (X K) v okolí bodu X K, tzn. X K+ε a X K-ε. Při této metodě se uvažuje znaménko derivace v okolí bodu X K Pokud jsou znaménka derivace v bodech X K-ε a X K + ε různá, pak je v bodě X K extrém. V tomto případě lze typ extrému (min nebo max) zjistit změnou znaménka derivace při pohybu z bodu X K-ε do bodu X K+ε.

Pokud se znaménko změní z „+“ na „-“, pak je v bodě X K maximum (obr. 3b), pokud naopak z „-“ na „+“, je zde minimum. (obr. 3a)

3. Metoda studia znaků vyšších derivací.

Tato metoda se používá v případech, kdy v „podezřelém“ bodě extrému jsou deriváty vyšších řádů, tzn. funkce R (X K) je nejen spojitá sama o sobě, ale má i spojité derivace a .

Metoda se scvrkává na následující:

Na místě X K„podezřelý“ do extrému, pro který to platí

vypočítá se hodnota druhé derivace.

Pokud ve stejnou dobu , pak v bodě X K je maximum,

Li , pak v bodě X K je minimum.

Při řešení praktických optimalizačních úloh je nutné najít ne nějakou minimální nebo maximální hodnotu funkce R (X K), ale největší nebo nejmenší hodnotu této funkce, která se nazývá globální extrém. (obr. 4)


V obecném případě optimalizační problém spočívá v nalezení extrému funkce R (X), za přítomnosti určitých omezení na rovnice matematického modelu.

Jestliže R (X) je lineární a oblast proveditelných řešení je specifikována lineárními rovnostmi a nerovnicemi, pak problém hledání extrémů funkce patří do třídy úloh lineárního programování.

Množina X je často definována jako systém funkcí

Potom matematické vyjádření problému lineárního programování vypadá takto:

Pokud cílová funkce R (X) nebo některé z omezení není lineární funkcí, pak úkol najít extrém funkce R (X) patří do třídy problémů nelineárního programování.

Pokud na proměnné X nejsou uvalena žádná omezení, pak se takový problém nazývá nepodmíněný extrémní problém.

Příklad typický úkol optimalizace

Problém s krabicí s maximálním objemem.

Z tohoto polotovaru se v jeho rozích vyříznou čtyři sudé čtverce a výsledný obrazec (obr. 5 b) se ohne tak, aby vznikla krabice bez horního víka (obr. 6.5 c). v tomto případě je nutné zvolit velikost řezaných čtverců tak, abyste získali krabici maximálního objemu.

Na tomto příkladu můžeme ilustrovat všechny prvky nastavení optimalizačních problémů.

Rýže. 5. Schéma výroby krabice z obdélníkového polotovaru pevné velikosti

Hodnotící funkcí v tomto problému je objem vyrobené krabice. Problémem je výběr velikosti čtverců k vyříznutí. Pokud je velikost řezaných čtverců příliš malá, získá se široká krabice nízké výšky, což znamená, že objem bude malý. Na druhou stranu, pokud je velikost nařezaných čtverců příliš velká, dostanete se do úzké krabice vysoká nadmořská výška, což znamená, že jeho objem bude také malý.

Zároveň je volba velikosti řezaných čtverců ovlivněna omezením velikosti původního obrobku. Pokud vyříznete čtverce se stranou rovnou polovině strany původního obrobku, pak úkol ztrácí smysl. Strana řezaných čtverců také nemůže přesahovat polovinu stran původního obrobku, protože to je z praktických důvodů nemožné. Z toho vyplývá, že formulace tohoto problému musí obsahovat určitá omezení.

Matematická formulace úlohy krabice maximálního objemu. Pro matematickou formulaci tohoto problému je nutné vzít v úvahu některé parametry charakterizující geometrické rozměry krabice. Za tímto účelem doplníme věcnou formulaci problému o vhodné parametry. Za tímto účelem budeme uvažovat čtvercový přířez z nějakého pružného materiálu, který má délku strany L (obr. 6). Z tohoto polotovaru byste měli vyříznout čtyři sudé čtverce se stranou v rozích a výslednou postavu ohnout tak, abyste získali krabici bez horního krytu. Úkolem je vybrat velikost řezaných čtverců tak, aby výsledkem byla krabice maximálního objemu.

Rýže. 6. Výrobní schéma z obdélníkového polotovaru s uvedením jeho rozměrů

Pro matematickou formulaci tohoto problému je nutné určit proměnné příslušného optimalizačního problému, nastavit účelovou funkci a specifikovat omezení. Jako proměnnou bychom měli vzít délku strany uříznutého čtverce r, která v obecném případě nabývá na základě smysluplné formulace úlohy spojité reálné hodnoty. Účelovou funkcí je objem výsledné krabice. Protože délka strany základny krabice je rovna: L - 2r a výška krabice je rovna r, pak její objem zjistíme podle vzorce: V (r) = (L -2r) 2 r. Na základě fyzikálních úvah nemohou být hodnoty proměnné r záporné a přesahovat polovinu velikosti původního obrobku L, tzn. 0,5 l.

Pro hodnoty r = 0 a r = 0,5 L jsou vyjádřena odpovídající řešení krabicového problému. V prvním případě zůstává obrobek nezměněn, ale ve druhém případě je rozřezán na 4 stejné části. Vzhledem k tomu, že tato řešení mají fyzikální interpretaci, může být problém s krabicí, pro pohodlí jeho formulace a analýzy, považován za optimalizaci s omezeními, jako jsou nepřísné nerovnosti.

Pro účely sjednocení značíme proměnnou x = r, což neovlivňuje povahu řešeného optimalizačního problému. Potom lze matematickou formulaci úlohy krabice maximálního objemu napsat v následujícím tvaru:

kde (1)

Objektivní funkce tohoto problému je nelineární, tedy krabicový problém maximální velikost patří do třídy problémů nelineárního programování nebo nelineární optimalizace.

2. Klasifikace optimálních metod řízení

Optimalizace procesu spočívá v nalezení optima dané funkce resp optimální podmínky provádění tohoto procesu.

Pro vyhodnocení optima je nejprve nutné zvolit optimalizační kritérium. Obvykle je optimalizační kritérium vybráno ze specifických podmínek. To může být technologické kritérium(například obsah Cu ve výsypné strusce) nebo ekonomické kritérium (minimální cena výrobku při dané produktivitě práce) atd. Na základě zvoleného optimalizačního kritéria se sestaví účelová funkce, která představuje závislost optimalizačního kritéria na parametrech ovlivňujících jeho hodnotu. Problém optimalizace spočívá v nalezení extrému Objektivní funkce. V závislosti na povaze uvažovaných matematických modelů se používají různé metody matematické optimalizace.

Obecná formulace optimalizačního problému je následující:

1. Vyberte kritérium

2. Modelová rovnice je sestavena

3. Je zaveden omezovací systém

4. Řešení

model - lineární nebo nelineární

Omezení

V závislosti na struktuře modelu se používají různé optimalizační metody. Tyto zahrnují:

1. Analytické optimalizační metody (analytické hledání extrému, Lagrangeova multiplikační metoda, Variační metody)

2. Matematické programování (lineární programování, dynamické programování)

3. Gradientní metody.

4. Statistické metody (regresní analýza)

Lineární programování. V problémech lineárního programování je kritérium optimality prezentováno jako:

kde jsou uvedeny konstantní koeficienty;

Úkolové proměnné.

Modelové rovnice jsou lineární rovnice (polynomy) tvaru které podléhají omezením v podobě rovnosti či nerovnosti, tzn. (2)

V úlohách lineárního programování se obvykle předpokládá, že všechny nezávislé proměnné X j jsou nezáporné, tzn.

Optimálním řešením problému lineárního programování je takový soubor nezáporných hodnot nezávislých proměnných

Které splňuje podmínky (2) a poskytuje, v závislosti na formulaci problému, maximální nebo minimální hodnotu kritéria.

Geometrický výklad je: - kritérium v ​​případě omezení proměnných X 1 a X 2 typu rovnosti a nerovnosti

R má konstantní hodnotu podél čáry l. Optimální řešení bude v bodě S, protože v tomto bodě bude kritériem max. Jednou z metod řešení optimalizačního problému lineárního programování je simplexová metoda.

Nelineární programování. Matematická formulace problému nelineárního programování je následující: Najděte extrém účelové funkce , která má formu nelinearity.

Na nezávislé proměnné jsou uvalena různá omezení, jako jsou rovnosti nebo nerovnosti

V současné době se k řešení problémů nelineárního programování používá poměrně velké množství metod.

Patří sem: 1) Gradientové metody (metoda gradientu, metoda nejstrmějšího sestupu, metoda obrazu, Rosenbrockova metoda atd.)

2) Bezgradientové metody (Gauss-Seidelova metoda, skenovací metoda).

Gradientní optimalizační metody

Tyto metody patří mezi numerické metody typu vyhledávání. Podstatou těchto metod je stanovení hodnot nezávislých proměnných, které dávají největší (nejmenší) změnu v účelové funkci. Toho je obvykle dosaženo pohybem po gradientu kolmém k povrchu obrysu v daném bodě.

Uvažujme gradientní metodu. Tato metoda využívá gradient účelové funkce. V gradientové metodě se provádějí kroky ve směru nejrychlejšího poklesu účelové funkce.

Rýže. 8. Nalezení minima metodou gradientu

Hledání optima probíhá ve dvou fázích:

Fáze 1: - najděte hodnoty parciálních derivací pro všechny nezávislé proměnné, které určují směr gradientu v daném bodě.

2. etapa: - provede se krok v opačném směru, než je směr spádu, tzn. ve směru nejrychlejšího poklesu účelové funkce.

Algoritmus gradientní metody lze napsat takto:

(3)

Charakter pohybu k optimu metodou nejstrmějšího klesání je následující (obr. 6.9), po nalezení gradientu optimalizované funkce v počátečním bodě a tím určení směru jeho nejrychlejšího poklesu v určeném bodě, tímto směrem je učiněn sestupový krok. Pokud se hodnota funkce v důsledku tohoto kroku sníží, provede se další krok ve stejném směru a tak dále, dokud se v tomto směru nenajde minimum, načež se znovu vypočítá gradient a nový směr nejrychlejšího je určen pokles účelové funkce.

Bezgradientové metody pro hledání extrému. Tyto metody, na rozdíl od gradientních, využívají v procesu vyhledávání informace získané nikoli z analýzy derivátů, ale z srovnávací hodnocení hodnotu kritéria optimality jako výsledek provedení dalšího kroku.

Mezi metody hledání extrému bez přechodů patří:

1. metoda zlatého řezu

2. metoda využívající Fiboniových čísel

3. Gaus-Seidelova metoda (metoda získání změny proměnné)

4. metoda skenování atp.