Plano ng negosyo 

Tinitiyak ng pamamahala ang pinakamainam na pagkontrol ng system. Pinakamainam na awtomatikong mga sistema ng kontrol. Tingnan kung ano ang "Optimal na kontrol" sa iba pang mga diksyunaryo

Sa pangkalahatan, ang isang awtomatikong sistema ay binubuo ng isang control object at isang set ng mga device na nagbibigay ng kontrol sa object na ito. Bilang panuntunan, kasama sa hanay ng mga device na ito ang mga device sa pagsukat, amplifying at pag-convert ng mga device, pati na rin ang mga actuator. Kung pagsasamahin natin ang mga device na ito sa isang link (control device), ganito ang hitsura ng block diagram ng system:

SA awtomatikong sistema ang impormasyon tungkol sa estado ng kinokontrol na bagay ay ibinibigay sa input ng control device sa pamamagitan ng pagsukat na aparato. Ang ganitong mga sistema ay tinatawag na feedback system o closed system. Ang kawalan ng impormasyong ito sa control algorithm ay nagpapahiwatig na ang system ay bukas. Ilalarawan namin ang estado ng control object anumang oras mga variable
, na tinatawag na mga coordinate ng system o mga variable ng estado. Ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang mga ito bilang mga coordinate - dimensional na vector ng estado.

Ang aparato ng pagsukat ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa estado ng bagay. Kung batay sa pagsukat ng vector
ang mga halaga ng lahat ng mga coordinate ay matatagpuan
vector ng estado
, kung gayon ang sistema ay sinasabing ganap na napapansin.

Ang control device ay bumubuo ng isang control action
. Maaaring mayroong ilang mga naturang kontrol na pagkilos; - dimensional control vector.

Ang input ng control device ay tumatanggap ng reference input
. Ang input na pagkilos na ito ay nagdadala ng impormasyon tungkol sa kung ano ang dapat na estado ng bagay. Ang control object ay maaaring napapailalim sa isang nakakagambalang impluwensya
, na kumakatawan sa isang pagkarga o kaguluhan. Ang pagsukat ng mga coordinate ng isang bagay ay karaniwang isinasagawa na may ilang mga error
, na random din.

Ang gawain ng control device ay bumuo ng naturang control action
upang ang kalidad ng paggana ng awtomatikong sistema sa kabuuan ay ang pinakamahusay sa ilang kahulugan.

Isasaalang-alang namin ang mga control object na mapapamahalaan. Iyon ay, ang vector ng estado ay maaaring baguhin ayon sa kinakailangan sa pamamagitan ng naaayon na pagbabago ng control vector. Ipagpalagay natin na ang bagay ay ganap na napapansin.

Halimbawa, ang posisyon ng isang sasakyang panghimpapawid ay nailalarawan sa pamamagitan ng anim na coordinate ng estado. Ito
- mga coordinate ng sentro ng masa,
- Ang mga anggulo ng Euler, na tumutukoy sa oryentasyon ng sasakyang panghimpapawid na may kaugnayan sa sentro ng masa. Maaaring baguhin ang saloobin ng sasakyang panghimpapawid gamit ang mga elevator, heading, aileron at thrust vectoring. Kaya ang control vector ay tinukoy bilang mga sumusunod:

- anggulo ng pagpapalihis ng elevator

- mabuti

- aileron

- traksyon

Vektor ng estado
sa kasong ito ito ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Maaari kang magpose ng problema sa pagpili ng isang kontrol sa tulong kung saan ang sasakyang panghimpapawid ay inilipat mula sa isang naibigay na paunang estado
sa isang ibinigay na pangwakas na estado
Sa kaunting gastos gasolina o sa pinakamababang oras.

Ang karagdagang pagiging kumplikado sa paglutas ng mga teknikal na problema ay lumitaw dahil sa ang katunayan na, bilang isang patakaran, ang iba't ibang mga paghihigpit ay ipinapataw sa pagkilos ng kontrol at sa mga coordinate ng estado ng control object.

May mga paghihigpit sa anumang anggulo ng mga elevator, yaw, at aileron:



- ang traksyon mismo ay limitado.

Ang mga coordinate ng estado ng control object at ang mga derivative nito ay napapailalim din sa mga paghihigpit na nauugnay sa mga pinapahintulutang labis na karga.

Isasaalang-alang namin ang mga control object na inilalarawan ng differential equation:


(1)

O sa anyo ng vector:

--dimensional na vector ng estado ng bagay

--dimensional na vector ng mga aksyon na kontrol

- function ng kanang bahagi ng equation (1)

Sa control vector
ang isang paghihigpit ay ipinataw, ipagpalagay namin na ang mga halaga nito ay kabilang sa ilang saradong rehiyon ilang -dimensional na espasyo. Nangangahulugan ito na ang executive function
nabibilang sa rehiyon anumang oras (
).

Kaya, halimbawa, kung ang mga coordinate ng control function ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay:


tapos yung area ay - sinusukat na kubo.

Tawagan natin ang anumang putol-putol na tuluy-tuloy na function bilang isang tinatanggap na kontrol
, na ang mga halaga sa bawat sandali ng oras nabibilang sa rehiyon , at maaaring may mga discontinuities ng unang uri. Lumalabas na kahit na sa ilang pinakamainam na problema sa kontrol ang solusyon ay maaaring makuha sa klase ng piecewise na tuloy-tuloy na kontrol. Upang piliin ang kontrol
bilang isang function ng oras at paunang estado ng system
, na natatanging tumutukoy sa paggalaw ng control object, kinakailangan na ang sistema ng mga equation (1) ay matugunan ang mga kondisyon ng theorem of existence at uniqueness ng solusyon sa rehiyon
. Ang lugar na ito ay naglalaman ng mga posibleng trajectory ng paggalaw ng bagay at posibleng mga function ng kontrol.
. Kung ang domain ng variation ng mga variable ay matambok, kung gayon para sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon ay sapat na ang function

. ay tuluy-tuloy sa lahat ng mga argumento at may tuluy-tuloy na partial derivatives na may paggalang sa mga variable

.

Bilang isang criterion na nagpapakilala sa kalidad ng pagpapatakbo ng system, napili ang isang functional na form:

(2)

Bilang isang function
ipagpalagay natin na ito ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga argumento nito at may tuluy-tuloy na partial derivatives na may kinalaman sa

.

Para magdisenyo ng pinakamainam na awtomatikong control system, kailangan ang kumpletong impormasyon tungkol sa op-amp, nakakagambala at master na mga impluwensya, at ang mga inisyal at huling estado ng op-amp. Susunod, kailangan mong pumili ng criterion ng optimality. Ang isa sa mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng system ay maaaring gamitin bilang isang pamantayan. Gayunpaman, ang mga kinakailangan para sa mga indibidwal na tagapagpahiwatig ng kalidad ay kadalasang nagkakasalungatan (halimbawa, ang pagtaas ng katumpakan ng system ay nakakamit sa pamamagitan ng pagbabawas ng margin ng katatagan). Bilang karagdagan, ang pinakamainam na sistema ay dapat magkaroon ng isang minimum posibleng pagkakamali hindi lamang kapag gumagawa ng isang partikular na pagkilos ng kontrol, ngunit sa buong oras ng pagpapatakbo ng system. Dapat din itong isaalang-alang na ang solusyon sa pinakamainam na problema sa kontrol ay nakasalalay hindi lamang sa istraktura ng system, kundi pati na rin sa mga parameter ng mga elemento ng nasasakupan nito.

Ang pagkamit ng pinakamainam na paggana ng ACS ay higit na tinutukoy ng kung paano isinasagawa ang kontrol sa paglipas ng panahon, kung ano ang programa, o algorithm ng kontrol. Sa pagsasaalang-alang na ito, upang masuri ang pinakamainam ng mga system, ginagamit ang integral na pamantayan, na kinakalkula bilang kabuuan ng mga halaga ng parameter ng kalidad ng system na interes sa mga taga-disenyo para sa buong oras ng proseso ng kontrol.

Depende sa pinagtibay na pamantayan ng pinakamainam, isinasaalang-alang namin ang mga sumusunod na uri pinakamainam na mga sistema.

1. Mga sistema, pinakamainam para sa pagganap, na nagbibigay ng pinakamababang oras para sa paglilipat ng op-amp mula sa isang estado patungo sa isa pa. Sa kasong ito, ang pinakamainam na pamantayan ay ganito ang hitsura:

kung saan ang / n at / k ay ang mga sandali ng simula at pagtatapos ng proseso ng kontrol.

Sa ganitong mga sistema, ang tagal ng proseso ng kontrol ay minimal. Ang pinakasimpleng halimbawa ay isang sistema ng kontrol ng engine na nagbibigay ng pinakamababang oras para sa acceleration sa isang naibigay na bilis, na isinasaalang-alang ang lahat ng umiiral na mga paghihigpit.

2. Mga sistema, pinakamainam sa mga tuntunin ng pagkonsumo ng mapagkukunan, na ginagarantiyahan ang pinakamababang pamantayan

saan Upang- koepisyent ng proporsyonalidad; U(t)- kontrol na aksyon.

Tinitiyak ng naturang sistema ng pamamahala ng engine, halimbawa, ang pinakamababang pagkonsumo ng gasolina sa buong panahon ng kontrol.

3. Mga sistema, pinakamainam sa mga tuntunin ng pagkawala ng kontrol(o katumpakan), na nagbibigay ng kaunting mga error sa pagkontrol batay sa criterion kung saan ang e(f) ay ang dynamic na error.

Sa prinsipyo, ang problema sa pagdidisenyo ng isang pinakamainam na awtomatikong sistema ng kontrol ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pinakasimpleng paraan ng pag-enumerate ng lahat. posibleng mga opsyon. Siyempre, ang pamamaraang ito ay nangangailangan mataas na gastos oras, ngunit ginagawang posible ng mga modernong computer na gamitin ito sa ilang mga kaso. Upang malutas ang mga problema sa pag-optimize, ang mga espesyal na pamamaraan ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay binuo (maximum na pamamaraan, dynamic na pamamaraan ng programming, atbp.), na ginagawang posible na isaalang-alang ang lahat ng mga limitasyon ng mga tunay na sistema.

Bilang halimbawa, isaalang-alang natin kung ano dapat ang pinakamainam na kontrol sa bilis ng isang DC electric motor kung ang boltahe na ibinibigay dito ay limitado ng limitasyon na halaga (/lr, at ang motor mismo ay maaaring katawanin bilang isang 2nd order na aperiodic link (Fig 13.9, A).

Ang maximum na paraan ay nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang batas ng pagbabago u(d), tinitiyak ang pinakamababang oras para sa pagbilis ng makina hanggang sa bilis ng pag-ikot (Larawan 13.9, b). Ang proseso ng kontrol ng motor na ito ay dapat na binubuo ng dalawang pagitan, sa bawat isa kung saan ang boltahe u(t) kinukuha ang pinakamataas na pinahihintulutang halaga nito (sa pagitan ng 0 - /,: u(t)= +?/ ex, sa pagitan /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* Upang matiyak ang naturang kontrol, isang elemento ng relay ay dapat na kasama sa system.

Tulad ng mga nakasanayang sistema, ang pinakamainam na sistema ay open-loop, closed-loop at pinagsama-sama. Kung ang pinakamainam na kontrol na naglilipat ng op-amp mula sa paunang estado patungo sa huling estado at independiyente o mahinang umaasa sa mga nakakagambalang impluwensya ay maaaring tukuyin bilang isang function ng oras U= (/(/), pagkatapos ay bumuo kami open-loop system kontrol ng programa (Larawan 13.10, A).

Ang pinakamainam na programang P, na idinisenyo upang makamit ang sukdulan ng tinatanggap na pamantayan ng pinakamainam, ay naka-embed sa PU software device. Ayon sa pamamaraang ito, isinasagawa ang pamamahala


kanin. 13.9.

A- na may isang karaniwang control device; b - na may dalawang antas na controller

aparato

kanin. 13.10. Mga scheme ng pinakamainam na sistema: A- bukas; b- pinagsama

gamit ang mga numerical controlled machine at simpleng robot, paglulunsad ng mga rocket sa orbit, atbp.

Ang pinaka-advanced, kahit na ang pinaka-kumplikado, ay pinagsamang pinakamainam na mga sistema(Larawan 13.10, b). Sa ganitong mga sistema, ang isang bukas na loop ay nagsasagawa ng pinakamainam na kontrol ayon sa isang naibigay na programa, at ang isang closed loop, na na-optimize upang mabawasan ang mga error, ay nagpoproseso ng paglihis ng mga parameter ng output. Gamit ang disturbance measurement rope /*, nagiging invariant ang system kaugnay ng buong set ng pagmamaneho at nakakagambalang mga impluwensya.

Upang maipatupad ang gayong perpektong sistema ng kontrol, kinakailangan na tumpak at mabilis na sukatin ang lahat ng nakakagambalang mga impluwensya. Gayunpaman, ang posibilidad na ito ay hindi palaging magagamit. Mas madalas, ang average na istatistikang data lamang ang nalalaman tungkol sa mga nakakagambalang impluwensya. Sa maraming mga kaso, lalo na sa mga telecontrol system, kahit na ang puwersang nagtutulak ay pumapasok sa system kasama ng ingay. At dahil ang interference ay, sa pangkalahatan, isang random na proseso, posible na mag-synthesize lamang pinakamainam na sistema ng istatistika. Ang ganitong sistema ay hindi magiging pinakamainam para sa bawat isa tiyak na pagpapatupad ng proseso ng kontrol, ngunit ito ay sa karaniwan ang pinakamahusay para sa buong hanay ng mga pagpapatupad nito.

Para sa mga sistemang pinakamainam ayon sa istatistika, ginagamit ang mga average na probabilistikong pagtatantya bilang pamantayan sa pagiging optimal. Halimbawa, para sa isang tracking system na na-optimize para sa isang minimum na error, ang mathematical na inaasahan ng squared deviation ng output effect mula sa tinukoy na halaga ay ginagamit bilang isang statistical criterion para sa optimality, i.e. pagkakaiba-iba:

Ginagamit din ang ibang probabilistikong pamantayan. Halimbawa, sa isang target detection system, kung saan ang presensya o kawalan lamang ng isang target ang mahalaga, ang posibilidad ng isang maling desisyon ay ginagamit bilang isang pinakamainam na pamantayan. Rosh:

saan R p ts ay ang posibilidad na mawala ang target; R LO- posibilidad ng maling pagtuklas.

Sa maraming mga kaso, ang kinakalkula na pinakamainam na mga sistema ng awtomatikong kontrol ay halos imposible na ipatupad dahil sa kanilang pagiging kumplikado. Bilang isang patakaran, kinakailangan upang makakuha ng tumpak na mga halaga ng mga derivatives na may mataas na pagkakasunud-sunod mula sa mga impluwensya ng input, na sa teknikal ay napakahirap ipatupad. Kadalasan, kahit na ang isang teoretikal na eksaktong synthesis ng isang pinakamainam na sistema ay nagiging imposible. Gayunpaman, ang pinakamainam na pamamaraan ng disenyo ay ginagawang posible upang makabuo ng mga quasi-optimal na sistema, bagaman pinasimple sa isang antas o iba pa, ngunit pinapayagan pa rin ang isa na makamit ang mga halaga ng tinatanggap na pamantayan ng optimality na malapit sa sukdulan.

Kahulugan at pangangailangan ng pagbuo ng pinakamainam na mga sistema ng awtomatikong kontrol

Ang mga awtomatikong sistema ng kontrol ay karaniwang idinisenyo batay sa mga kinakailangan upang matiyak ang ilang mga tagapagpahiwatig ng kalidad. Sa maraming mga kaso, ang kinakailangang pagtaas sa dynamic na katumpakan at pagpapabuti ng mga lumilipas na proseso ng mga awtomatikong control system ay nakamit sa tulong ng mga corrective device.

Lalo na sapat na pagkakataon Ang pagpapabuti ng mga tagapagpahiwatig ng kalidad ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpapasok sa ACS open-loop compensation channels at differential connections, na na-synthesize mula sa isa o ibang kondisyon ng error invariance na may paggalang sa master o nakakagambalang mga impluwensya. Gayunpaman, ang epekto ng mga aparato sa pagwawasto, bukas na mga channel ng kompensasyon at katumbas na mga koneksyon sa pagkakaiba-iba sa mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng ACS ay nakasalalay sa antas ng limitasyon ng signal ng mga nonlinear na elemento ng system. Ang mga signal ng output ng mga pagkakaiba-iba ng mga aparato, kadalasang maikli sa tagal at makabuluhang sa amplitude, ay limitado sa mga elemento ng system at hindi humahantong sa isang pagpapabuti sa mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng system, lalo na ang bilis nito. nangungunang mga marka Ang tinatawag na pinakamainam na kontrol ay nagbibigay ng isang solusyon sa problema ng pagtaas ng mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng isang awtomatikong sistema ng kontrol sa pagkakaroon ng mga limitasyon ng signal.

Ang problema ng pag-synthesize ng mga pinakamainam na sistema ay mahigpit na binuo kamakailan, nang ang konsepto ng isang pamantayan ng pinakamainam ay tinukoy. Depende sa layunin ng pamamahala, iba't ibang teknikal o mga tagapagpahiwatig ng ekonomiya kontroladong proseso. Sa pinakamainam na sistema, tinitiyak na hindi lamang isang bahagyang pagtaas sa isa o isa pang tagapagpahiwatig ng kalidad ng teknikal at pang-ekonomiya, ngunit ang pagkamit ng pinakamababa o pinakamataas na posibleng halaga nito.

Kung ang pamantayan ng pinakamainam ay nagpapahayag ng mga pagkalugi sa teknikal at pang-ekonomiya (mga error sa system, oras ng proseso ng paglipat, pagkonsumo ng enerhiya, pondo, gastos, atbp.), Kung gayon ang pinakamainam na kontrol ay ang isa na nagbibigay ng pinakamababang pamantayan ng pinakamainam. Kung ito ay nagpapahayag ng kakayahang kumita (kahusayan, pagiging produktibo, kita, hanay ng misayl, atbp.), kung gayon ang pinakamainam na kontrol ay dapat magbigay ng pinakamataas na pamantayan ng pinakamainam.

Ang problema sa pagtukoy ng pinakamainam na awtomatikong sistema ng kontrol, lalo na ang synthesis ng pinakamainam na mga parameter ng system kapag ang isang master ay natanggap sa input nito

impluwensya at interference, na mga nakatigil na random na signal, ay isinasaalang-alang sa Chap. 7. Alalahanin natin iyon sa sa kasong ito Ang root mean square error (RMSE) ay kinuha bilang pinakamainam na pamantayan. Ang mga kondisyon para sa pagtaas ng katumpakan ng pagpaparami ng kapaki-pakinabang na signal (pagtukoy ng impluwensya) at pagsugpo sa pagkagambala ay magkasalungat, at samakatuwid ang gawain ay lumitaw sa pagpili ng gayong (pinakamainam) na mga parameter ng system kung saan ang karaniwang paglihis ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga.

Synthesis ng isang pinakamainam na sistema na may mean square optimality criterion ay pribadong problema. Pangkalahatang pamamaraan Ang synthesis ng pinakamainam na sistema ay batay sa calculus ng mga pagkakaiba-iba. Gayunpaman, ang mga klasikal na pamamaraan ng calculus ng mga pagkakaiba-iba para sa paglutas ng mga modernong praktikal na problema na nangangailangan ng pagsasaalang-alang sa mga paghihigpit, sa maraming mga kaso, ay lumalabas na hindi angkop. Ang pinaka-maginhawang pamamaraan para sa pag-synthesize ng pinakamainam na awtomatikong control system ay ang dynamic na pamamaraan ng programming ng Bellman at ang pinakamataas na prinsipyo ng Pontryagin.

Kaya, kasama ang problema ng pagpapabuti ng iba't ibang mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng mga awtomatikong sistema ng kontrol, ang problema ay lumitaw sa pagtatayo ng pinakamainam na mga sistema kung saan ang matinding halaga ng isa o isa pang teknikal at pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig ng kalidad ay nakamit.

Ang pagbuo at pagpapatupad ng pinakamainam na mga sistema ng awtomatikong kontrol ay nakakatulong upang madagdagan ang kahusayan ng paggamit ng mga yunit ng produksyon, dagdagan ang produktibidad ng paggawa, mapabuti ang kalidad ng produkto, makatipid ng enerhiya, gasolina, hilaw na materyales, atbp.

Mga konsepto tungkol sa phase state at phase trajectory ng isang bagay

Sa teknolohiya, ang gawain ng paglilipat ng isang kinokontrol na bagay (proseso) mula sa isang estado patungo sa isa pa ay madalas na lumitaw. Halimbawa, kapag nagta-target, kailangan mo ng antenna istasyon ng radar paikutin mula sa paunang posisyon na may paunang azimuth sa tinukoy na posisyon na may azimuth Upang gawin ito, ang control boltahe ay ibinibigay sa de-koryenteng motor na konektado sa antena sa pamamagitan ng isang gearbox. Sa bawat sandali ng oras, ang estado ng antena ay nailalarawan sa pamamagitan ng kasalukuyang halaga ng anggulo ng pag-ikot at angular na bilis ng dalawang dami na ito ay nagbabago depende sa kontrol ng boltahe at. Kaya, mayroong tatlong magkakaugnay na mga parameter at (Larawan 11.1).

Ang mga dami na nagpapakilala sa estado ng antenna ay tinatawag na mga coordinate ng phase, at - pagkilos ng kontrol. Kapag nagta-target ng pagtatalaga ng isang radar tulad ng istasyon ng paggabay ng baril, ang gawain ay lumitaw sa pag-ikot ng antenna sa azimuth at elevation. Sa kasong ito, magkakaroon tayo ng apat na phase coordinates ng object at dalawang control action. Para sa isang lumilipad na sasakyang panghimpapawid, maaari nating isaalang-alang ang anim na mga coordinate ng phase (tatlong spatial coordinates at tatlong bahagi ng bilis) at ilang mga aksyon na kontrol (thrust ng makina, mga dami na nagpapakilala sa posisyon ng mga timon.

kanin. 11.1. Diagram ng isang bagay na may isang control action at dalawang phase coordinates.

kanin. 11.2. Diagram ng bagay na may mga pagkilos na kontrol at mga coordinate ng phase.

kanin. 11.3. Diagram ng isang bagay na may vector image ng control action at ang phase state ng object

altitude at direksyon, ailerons). Sa pangkalahatang kaso, sa bawat sandali ng oras, ang estado ng isang bagay ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga coordinate ng phase, at ang mga aksyon na kontrol ay maaaring ilapat sa bagay (Larawan 11.2).

Ang paglipat ng isang kinokontrol na bagay (proseso) mula sa isang estado patungo sa isa pa ay dapat na maunawaan hindi lamang bilang mekanikal na paggalaw (halimbawa, isang radar antenna, sasakyang panghimpapawid), kundi pati na rin bilang kinakailangang pagbabago sa iba't ibang pisikal na dami: temperatura, presyon, halumigmig ng cabin, komposisyong kemikal ng isa o ibang hilaw na materyal na may naaangkop na kontroladong teknolohikal na proseso.

Maginhawang isaalang-alang ang mga pagkilos na kontrol bilang mga coordinate ng isang tiyak na vector na tinatawag na vector ng pagkilos ng kontrol. Ang mga phase coordinate (mga variable ng estado) ng isang bagay ay maaari ding ituring bilang mga coordinate ng isang tiyak na vector o point sa -dimensional na espasyo na may mga coordinate Ang puntong ito ay tinatawag na phase state (state vector) ng object, at ang -dimensional space kung saan ang mga phase state ay inilalarawan bilang mga punto ay tinatawag na phase space (state space) ng object na isinasaalang-alang. Kapag gumagamit ng mga imahe ng vector, ang kinokontrol na bagay ay maaaring ilarawan tulad ng ipinapakita sa Fig. 11.3, kung saan at ay ang vector ng control action at kumakatawan sa isang punto sa phase space na nagpapakilala sa phase state ng object. Sa ilalim ng impluwensya ng pagkilos na kontrol, ang phase point ay gumagalaw, na naglalarawan ng isang tiyak na linya sa phase space, na tinatawag na phase trajectory ng itinuturing na paggalaw ng bagay.

Ang mga problema sa pinakamainam na kontrol ay nauugnay sa teorya ng mga matinding problema, iyon ay, mga problema sa pagtukoy ng maximum at minimum na mga halaga. Ang mismong katotohanan na maraming mga salitang Latin ang natagpuan sa pariralang ito (maximum - pinakadakila, minimum - pinakamaliit, extremum - extreme, optimus - optimal) ay nagpapahiwatig na ang teorya ng matinding problema ay naging paksa ng pananaliksik mula noong sinaunang panahon. Isinulat ni Aristotle (384-322 BC), Euclid (3rd century BC) at Archimedes (287-212 BC) ang ilan sa mga problemang ito. Iniuugnay ng alamat ang pagkakatatag ng lungsod ng Carthage (825 BC) sa sinaunang suliranin sa pagtukoy ng isang saradong kurba ng eroplano na nakapaloob sa isang pigura ng pinakamataas na posibleng lugar. Ang ganitong mga problema ay tinatawag na isoperimetric.

Ang isang tampok na katangian ng matinding mga problema ay ang kanilang pagbabalangkas ay nabuo ng kasalukuyang mga pangangailangan para sa pag-unlad ng lipunan. Higit pa rito, simula sa ika-17 siglo, ang nangingibabaw na ideya ay naging ang mga batas ng mundo sa paligid natin ay bunga ng ilang variational na prinsipyo. Ang una sa kanila ay ang prinsipyo ng P. Fermat (1660), ayon sa kung saan ang trajectory ng liwanag na nagpapalaganap mula sa isang punto patungo sa isa pa ay dapat na ang oras ng pagpasa ng liwanag kasama ang trajectory na ito ay kasing-ikli hangga't maaari. Kasunod nito, iminungkahi ang iba't ibang prinsipyo ng variational na malawakang ginagamit sa natural na agham, halimbawa: ang prinsipyo ng nakatigil na pagkilos ng U.R. Hamilton (1834), ang prinsipyo ng mga virtual na paggalaw, ang prinsipyo ng hindi bababa sa pamimilit, atbp. Kasabay nito, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga matinding problema ay binuo. Sa paligid ng 1630, bumuo si Fermat ng isang paraan para sa pag-aaral ng extremum ng polynomials, na binubuo sa katotohanan na sa extremum point ang derivative ay katumbas ng zero. Para sa pangkalahatang kaso, ang pamamaraang ito ay nakuha ni I. Newton (1671) at G.V. Leibniz (1684), na ang mga gawa ay minarkahan ang kapanganakan pagsusuri sa matematika. Ang simula ng pag-unlad ng klasikal na calculus ng mga pagkakaiba-iba ay nagsimula noong 1696 ng isang artikulo ni I. Bernoulli (isang mag-aaral ng Leibniz), na bumalangkas sa pagbabalangkas ng problema ng isang kurba na nagkokonekta sa dalawang puntong A at B, na gumagalaw kasama na mula sa puntong A hanggang B sa ilalim ng impluwensya ng grabidad ay maaabot ng isang materyal na punto ang B sa pinakamaikling posibleng panahon.

Sa loob ng balangkas ng klasikal na calculus ng mga pagkakaiba-iba noong ika-18-19 na siglo, ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum ng unang pagkakasunud-sunod ay itinatag (L. Euler, J.L. Lagrange), at kalaunan ay kinakailangan at sapat na mga kondisyon ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay binuo ( K.T.V. Weierstrass, A.M. Legendre, K.G.Ya Jacobi), ang Hamilton-Jacobi theory at field theory (D. Gilbert, A. Kneser). Karagdagang pag-unlad Ang teorya ng matinding mga problema ay humantong sa ika-20 siglo sa paglikha ng linear programming, convex analysis, mathematical programming, minimax theory at ilang iba pang mga lugar, isa na rito ang theory of optimal control.

Ang teoryang ito, tulad ng iba pang mga lugar ng teorya ng matinding mga problema, ay lumitaw na may kaugnayan sa kasalukuyang mga problema ng awtomatikong kontrol sa huling bahagi ng 40s (pagkontrol ng elevator sa isang minahan upang ihinto ito nang mabilis hangga't maaari, pagkontrol sa paggalaw ng mga rocket, pagpapatatag ng kapangyarihan. ng mga hydroelectric power plant, atbp.). Tandaan na ang mga pahayag ng mga indibidwal na problema na maaaring bigyang-kahulugan bilang pinakamainam na mga problema sa kontrol ay nakatagpo ng mas maaga, halimbawa, sa I. Newton's "Mathematical Principles of Natural Philosophy" (1687). Kasama rin dito ang problema ni R. Goddard (1919) ng pag-angat ng rocket sa isang partikular na taas na may kaunting pagkonsumo ng gasolina at ang dalawahang problema nito sa pag-angat ng rocket sa isang partikular na taas. pinakamataas na taas para sa isang tiyak na halaga ng gasolina. Sa nakalipas na panahon, ang mga pangunahing prinsipyo ng pinakamainam na teorya ng kontrol ay naitatag: ang pinakamataas na prinsipyo at ang dynamic na paraan ng programming.

Ang mga prinsipyong ito ay kumakatawan sa isang pagbuo ng klasikal na calculus ng mga pagkakaiba-iba para sa pag-aaral ng mga problemang naglalaman ng mga kumplikadong hadlang sa kontrol.

Ngayon ang teorya ng pinakamainam na kontrol ay dumadaan sa isang panahon mabilis na pagunlad kapwa dahil sa pagkakaroon ng mahirap at kawili-wiling mga problema sa matematika, at dahil sa kasaganaan ng mga aplikasyon, kabilang sa mga lugar tulad ng ekonomiya, biology, medisina, enerhiyang nuklear at iba pa.

Ang lahat ng pinakamainam na problema sa pagkontrol ay maaaring ituring bilang mga problema sa matematikal na programming at, sa form na ito, maaaring malutas gamit ang mga numerical na pamamaraan.

Sa pinakamainam na kontrol ng hierarchical multi-level system, halimbawa, malaki paggawa ng kemikal, metalurhiko at mga complex ng enerhiya, ginagamit ang multi-purpose at multi-level hierarchical optimal control system. Ang pamantayan ng kalidad ng pamamahala para sa bawat antas ng pamamahala at para sa buong sistema sa kabuuan, pati na rin ang koordinasyon ng mga aksyon sa pagitan ng mga antas ng pamamahala, ay ipinakilala sa modelo ng matematika.

Kung ang kinokontrol na bagay o proseso ay deterministiko, kung gayon ang mga differential equation ay ginagamit upang ilarawan ito. Ang pinakakaraniwang ginagamit ay mga ordinaryong differential equation ng form. Sa mas kumplikadong mga modelo ng matematika (para sa mga system na may mga distributed na parameter), ang mga partial differential equation ay ginagamit upang ilarawan ang bagay. Kung ang kinokontrol na bagay ay stochastic, pagkatapos ay stochastic differential equation ang ginagamit upang ilarawan ito.

Kung ang solusyon sa isang naibigay na pinakamainam na problema sa kontrol ay hindi patuloy na umaasa sa paunang data (isang masamang problema), kung gayon ang gayong problema ay malulutas sa pamamagitan ng mga espesyal na pamamaraan ng numero.

Ang pinakamainam na sistema ng kontrol na may kakayahang mag-ipon ng karanasan at mapabuti ang gawain nito sa batayan na ito ay tinatawag na learning optimal control system.

Ang tunay na pag-uugali ng isang bagay o sistema ay palaging naiiba sa isang programa dahil sa hindi tumpak sa mga paunang kondisyon, hindi kumpletong impormasyon tungkol sa mga panlabas na kaguluhan na kumikilos sa bagay, hindi tumpak sa pagpapatupad ng kontrol ng programa, atbp. Samakatuwid, upang mabawasan ang paglihis ng pag-uugali ng isang bagay mula sa pinakamainam, karaniwang ginagamit ang isang awtomatikong sistema ng kontrol.

Minsan (halimbawa, kapag namamahala ng mga kumplikadong bagay, tulad ng isang blast furnace sa metalurhiya o kapag sinusuri ang impormasyong pang-ekonomiya), ang paunang data at kaalaman tungkol sa kinokontrol na bagay kapag nagtatakda ng pinakamainam na problema sa kontrol ay naglalaman ng hindi tiyak o malabo na impormasyon na hindi maproseso ng tradisyonal quantitative na pamamaraan. Sa ganitong mga kaso, maaari mong gamitin ang pinakamainam na mga algorithm ng kontrol batay sa matematikal na teorya ng mga fuzzy set (Fuzzy control). Ang mga konsepto at kaalaman na ginamit ay na-convert sa malabo na anyo, ang mga malabo na panuntunan para sa pagde-deliver ng mga desisyon ay natutukoy, at pagkatapos ay ang mga malabong desisyon ay na-convert pabalik sa pisikal na mga variable ng kontrol.

Pinakamainam na kontrol sa proseso (Lektura)

PLANO NG LECTURE

1. Pangunahing konsepto ng paghahanap ng extremum ng isang function

2. Pag-uuri ng pinakamainam na paraan ng pagkontrol

1. Pangunahing konsepto ng paghahanap ng extremum ng isang function

Anumang mathematical formulation ng isang pinakamainam na problema ay kadalasang katumbas o katumbas ng problema sa paghahanap ng extremum ng isang function ng isa o maraming independent variables. Samakatuwid, upang malutas ang gayong pinakamainam na mga problema ay maaaring gamitin iba't ibang pamamaraan naghahanap ng extremum.

Sa pangkalahatan, ang problema sa pag-optimize ay nabalangkas tulad ng sumusunod:

Hanapin ang extr ng function R (x), kung saan XX

R (x) – tinatawag na layunin na function o function o optimization criterion o optimized function

Ang X ay isang malayang variable.

Tulad ng nalalaman, ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang tuluy-tuloy na function na R (x) ay maaaring makuha mula sa pagsusuri ng unang derivative. Sa kasong ito, ang function na R (x) ay maaaring magkaroon ng matinding mga halaga para sa mga naturang halaga ng independent variable X, kung saan ang unang derivative ay katumbas ng 0. i.e. =0. Sa graphically, kung ang derivative ay zero, nangangahulugan ito na ang tangent sa curve R(x) sa puntong ito ay parallel sa abscissa.

Ang derivative =0 ay katumbas kinakailangang kondisyon sukdulan.

Gayunpaman, ang pagkakapantay-pantay ng derivative sa zero ay hindi nangangahulugan na mayroong extremum sa puntong ito. Upang tuluyang matiyak na mayroon talagang matinding sa puntong ito, kinakailangan na magsagawa ng karagdagang pananaliksik, na binubuo ng mga sumusunod na pamamaraan:

1. Paraan para sa paghahambing ng mga halaga ng function

Ang halaga ng function na R (x) sa "pinaghihinalaang" extremum point X K ay inihambing sa dalawang magkalapit na halaga ng function na R (x) sa mga puntong X K-ε at X K+ε, kung saan ang ε ay isang maliit positibong halaga. (Larawan 2)

Kung ang parehong kinakalkula na mga halaga ng R (X K+ε) at R (X K-ε) ay lumabas na mas mababa o mas malaki kaysa sa R ​​(X K), pagkatapos ay sa puntong X K mayroong isang maximum o minimum ng function na R (x).

Kung ang R (X K) ay may intermediate na halaga sa pagitan ng R (X K-ε) at R (X K+ε), kung gayon ang function na R (x) ay walang maximum o minimum.

2. Paraan para sa paghahambing ng mga palatandaan ng mga derivatives

Muli nating isaalang-alang ang function na R (X K) sa paligid ng puntong X K, i.e. X K+ε at X K-ε. Sa pamamaraang ito, ang tanda ng derivative sa paligid ng puntong X K ay isinasaalang-alang Kung ang mga palatandaan ng derivative sa mga puntong X K-ε at X K + ε ay magkaiba, kung gayon mayroong isang extremum sa puntong X K. Sa kasong ito, ang uri ng extremum (min o max) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagbabago ng sign ng derivative kapag lumilipat mula sa punto X K-ε patungo sa punto X K+ε.

Kung ang pag-sign ay nagbabago mula sa "+" hanggang "-", pagkatapos ay sa punto X K mayroong isang maximum (Larawan 3b), kung sa kabaligtaran mula sa "-" hanggang "+", pagkatapos ay mayroong isang minimum. (Larawan 3a)

3. Isang paraan para sa pag-aaral ng mga palatandaan ng mas mataas na derivatives.

Ang pamamaraang ito ay ginagamit sa mga kaso kung saan sa "pinaghihinalaang" punto sa extremum mayroong mga derivatives ng mas mataas na mga order, i.e. ang function na R (X K) ay hindi lamang tuloy-tuloy mismo, ngunit mayroon ding tuloy-tuloy na derivatives at .

Ang pamamaraan ay bumababa sa mga sumusunod:

Sa punto X K"pinaghihinalaang" sa sukdulan, kung saan ito ay totoo

kinakalkula ang halaga ng pangalawang derivative.

Kung kasabay , pagkatapos sa puntong X K ay ang maximum,

Kung , pagkatapos ay sa puntong X K ay isang minimum.

Kapag nilulutas ang mga praktikal na problema sa pag-optimize, hindi kailangang hanapin ang ilang min o max na halaga ng function R (X K), ngunit ang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga ng function na ito, na tinatawag na global extremum. (Larawan 4)


Sa pangkalahatang kaso, ang problema sa pag-optimize ay binubuo ng paghahanap ng extremum ng function R (X), sa pagkakaroon ng ilang mga paghihigpit sa mga equation ng mathematical model.

Kung ang R (X) ay linear, at ang rehiyon ng mga magagawang solusyon ay tinukoy ng mga linear na pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang problema sa paghahanap ng extrema ng isang function ay kabilang sa klase ng mga problema sa linear programming.

Kadalasan ang set X ay tinukoy bilang isang sistema ng mga function

Pagkatapos ay ang mathematical na pahayag ng linear programming problem ay ganito ang hitsura:

Kung ang alinman sa target na function na R (X) o alinman sa mga hadlang ay hindi isang linear na function, kung gayon ang gawain ng paghahanap ng extremum ng function na R (X) ay kabilang sa klase ng mga problema sa nonlinear programming.

Kung walang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga variable na X, kung gayon ang ganitong problema ay tinatawag na unconditional extremum problem.

Halimbawa tipikal na gawain pag-optimize

Problema tungkol sa isang kahon ng maximum na volume.

Mula sa blangko na ito, dapat na gupitin ang apat na pantay na parisukat sa mga sulok nito, at ang resultang pigura (Larawan 5 b) ay dapat na baluktot upang makabuo ng isang kahon na walang takip sa itaas (Larawan 6.5 c). sa kasong ito, kinakailangan upang piliin ang laki ng mga parisukat na hiwa upang makakuha ka ng isang kahon ng maximum na dami.

Gamit ang problemang ito bilang isang halimbawa, maaari naming ilarawan ang lahat ng mga elemento ng pagtatakda ng mga problema sa pag-optimize.

kanin. 5. Scheme para sa paggawa ng isang kahon mula sa isang hugis-parihaba na blangko ng isang nakapirming laki

Ang pag-andar ng pagsusuri sa problemang ito ay ang dami ng ginawang kahon. Ang problema ay ang pagpili ng laki ng mga parisukat na gupitin. Sa katunayan, kung ang laki ng mga hiwa na parisukat ay masyadong maliit, kung gayon ang isang malawak na kahon ng mababang taas ay makukuha, na nangangahulugang ang dami ay magiging maliit. Sa kabilang banda, kung ang laki ng mga hiwa na parisukat ay masyadong malaki, magkakaroon ka ng isang makitid na kahon mataas na altitude, na nangangahulugang magiging maliit din ang volume nito.

Kasabay nito, ang pagpili ng laki ng mga cut square ay naiimpluwensyahan ng limitasyon ng laki ng orihinal na workpiece. Sa katunayan, kung gupitin mo ang mga parisukat na may gilid na katumbas ng kalahati ng bahagi ng orihinal na workpiece, kung gayon ang gawain ay magiging walang kabuluhan. Ang gilid ng mga cut square ay hindi rin maaaring lumampas sa kalahati ng mga gilid ng orihinal na workpiece, dahil imposible ito para sa mga praktikal na dahilan. Ito ay sumusunod mula dito na ang pagbabalangkas ng problemang ito ay dapat maglaman ng ilang mga paghihigpit.

Ang pagbabalangkas ng matematika ng problema ng isang kahon ng maximum na dami. Upang mabuo ang problemang ito sa matematika, kinakailangang isaalang-alang ang ilang mga parameter na nagpapakilala sa mga geometric na sukat ng kahon. Para sa layuning ito, dagdagan namin ang mahalagang pagbabalangkas ng problema na may naaangkop na mga parameter. Para sa layuning ito, isasaalang-alang namin ang isang parisukat na blangko na gawa sa ilang nababaluktot na materyal, na may haba ng gilid L (Larawan 6). Mula sa blangko na ito dapat mong gupitin ang apat na pantay na mga parisukat na may gilid sa mga sulok nito, at ibaluktot ang resultang figure upang makakuha ka ng isang kahon na walang tuktok na takip. Ang gawain ay piliin ang laki ng mga hiwa na parisukat upang ang resulta ay isang kahon ng maximum na dami.

kanin. 6. Diagram ng paggawa mula sa isang hugis-parihaba na blangko na nagpapahiwatig ng mga sukat nito

Upang mabuo ang problemang ito sa matematika, kinakailangan upang matukoy ang mga variable ng kaukulang problema sa pag-optimize, itakda ang layunin ng function at tukuyin ang mga hadlang. Bilang isang variable, dapat nating kunin ang haba ng gilid ng cut square r, na sa pangkalahatang kaso, batay sa makabuluhang pagbabalangkas ng problema, ay tumatagal ng tuluy-tuloy na tunay na mga halaga. Ang layunin ng function ay ang dami ng resultang kahon. Dahil ang haba ng gilid ng base ng kahon ay katumbas ng: L - 2r, at ang taas ng kahon ay katumbas ng r, kung gayon ang dami nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: V (r) = (L -2r) 2 r. Batay sa mga pisikal na pagsasaalang-alang, ang mga halaga ng variable r ay hindi maaaring negatibo at lumampas sa kalahati ng laki ng orihinal na workpiece L, i.e. 0.5L.

Para sa mga halaga ng r = 0 at r = 0.5 L, ang mga kaukulang solusyon sa problema sa kahon ay ipinahayag. Sa katunayan, sa unang kaso ang workpiece ay nananatiling hindi nagbabago, ngunit sa pangalawang kaso ito ay pinutol sa 4 na magkaparehong bahagi. Dahil ang mga solusyong ito ay may pisikal na interpretasyon, ang problema sa kahon, para sa kaginhawahan ng pagbabalangkas at pagsusuri nito, ay maaaring ituring na isang pag-optimize na may mga hadlang tulad ng hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay.

Para sa layunin ng pag-iisa, tinutukoy namin ang variable sa pamamagitan ng x = r, na hindi nakakaapekto sa likas na katangian ng problema sa pag-optimize na nalulutas. Pagkatapos ang matematikal na pagbabalangkas ng problema ng isang kahon ng maximum na dami ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

saan (1)

Ang layunin ng pag-andar ng problemang ito ay nonlinear, kaya ang problema sa kahon maximum na laki nabibilang sa klase ng nonlinear programming o nonlinear optimization na mga problema.

2. Pag-uuri ng pinakamainam na paraan ng pagkontrol

Binubuo ang pag-optimize ng proseso sa paghahanap ng pinakamabuting kalagayan ng function na pinag-uusapan o pinakamainam na kondisyon pagsasagawa ng prosesong ito.

Upang suriin ang pinakamabuting kalagayan, una sa lahat, kinakailangan na pumili ng isang pamantayan sa pag-optimize. Karaniwan, pinipili ang pamantayan sa pag-optimize mula sa mga partikular na kundisyon. Maaari itong maging teknolohikal na pamantayan(halimbawa, Cu content sa dump slag) o isang economic criterion (minimum na halaga ng isang produkto sa isang partikular na labor productivity), atbp. Batay sa napiling optimization criterion, isang layunin na function ay pinagsama-sama, na kumakatawan sa dependence ng optimization criterion sa mga parameter na nakakaimpluwensya sa halaga nito. Ang problema sa pag-optimize ay bumababa sa paghahanap ng extremum layunin function. Depende sa likas na katangian ng mga modelo ng matematika na isinasaalang-alang, ang iba't ibang mga pamamaraan ng pag-optimize ng matematika ay pinagtibay.

Ang pangkalahatang pagbabalangkas ng problema sa pag-optimize ay ang mga sumusunod:

1. Pumili ng criterion

2. Ang modelong equation ay pinagsama-sama

3. Isang sistema ng paghihigpit ay ipinapataw

4. Solusyon

modelo - linear o nonlinear

Mga paghihigpit

Depende sa istraktura ng modelo, iba't ibang mga paraan ng pag-optimize ang ginagamit. Kabilang dito ang:

1. Analytical optimization method (analytical search for extremum, Lagrange multiplier method, Variational method)

2. Mathematical programming (linear programming, dynamic programming)

3. Mga pamamaraan ng gradient.

4. Mga pamamaraan ng istatistika (Pagsusuri ng regression)

Linear programming. Sa mga problema sa linear programming, ang pinakamainam na pamantayan ay ipinakita bilang:

kung saan binibigyan ng pare-pareho ang mga coefficient;

Mga variable ng gawain.

Ang mga equation ng modelo ay mga linear equation (polynomials) ng form na napapailalim sa mga paghihigpit sa anyo ng pagkakapantay-pantay o hindi pagkakapantay-pantay, i.e. (2)

Sa mga problema sa linear programming karaniwang ipinapalagay na ang lahat ng mga independiyenteng variable X j ay hindi negatibo, i.e.

Ang pinakamainam na solusyon sa isang linear na problema sa programming ay isang hanay ng mga di-negatibong halaga ng mga independiyenteng variable

Na nakakatugon sa mga kundisyon (2) at nagbibigay, depende sa pormulasyon ng problema, ang max o min na halaga ng criterion.

Ang geometric na interpretasyon ay: - criterion sa pagkakaroon ng mga paghihigpit sa mga variable X 1 at X 2 ng uri ng pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay

Ang R ay may pare-parehong halaga sa linyang l. Pinakamainam na solusyon ay nasa punto S, dahil sa puntong ito ang criterion ay magiging max.

Nonlinear na programming. Ang mathematical formulation ng nonlinear programming problem ay ang mga sumusunod: Hanapin ang extremum ng objective function , na may anyo ng nonlinearity.

Ang iba't ibang mga paghihigpit tulad ng mga pagkakapantay-pantay o hindi pagkakapantay-pantay ay ipinapataw sa mga independiyenteng variable

Sa kasalukuyan, isang medyo malaking bilang ng mga pamamaraan ang ginagamit upang malutas ang mga problema sa nonlinear programming.

Kabilang dito ang: 1) Gradient method (gradient method, steepest descent method, image method, Rosenbrock method, atbp.)

2) Gradient-free na pamamaraan (Gauss-Seidel method, scanning method).

Mga pamamaraan ng pag-optimize ng gradient

Ang mga pamamaraang ito ay nabibilang sa mga numerical na pamamaraan ng uri ng paghahanap. Ang kakanyahan ng mga pamamaraang ito ay upang matukoy ang mga halaga ng mga independiyenteng variable na nagbibigay ng pinakamalaking (pinakamaliit) na pagbabago sa layunin ng pag-andar. Ito ay kadalasang nakakamit sa pamamagitan ng paglipat sa isang gradient orthogonal patungo sa contour surface sa isang naibigay na punto.

Isaalang-alang natin ang paraan ng gradient. Gumagamit ang pamamaraang ito ng gradient ng layunin ng function. Sa paraan ng gradient, ang mga hakbang ay ginagawa sa direksyon ng pinakamabilis na pagbaba sa layunin ng function.

kanin. 8. Paghahanap ng pinakamababa gamit ang gradient method

Ang paghahanap para sa pinakamabuting kalagayan ay isinasagawa sa dalawang yugto:

Stage 1: - hanapin ang mga halaga ng mga partial derivatives para sa lahat ng mga independiyenteng variable na tumutukoy sa direksyon ng gradient sa puntong pinag-uusapan.

Stage 2: - isang hakbang ay kinuha sa direksyon na kabaligtaran sa direksyon ng gradient, i.e. sa direksyon ng pinakamabilis na pagbaba sa layunin ng function.

Ang gradient method algorithm ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

(3)

Ang likas na katangian ng paggalaw sa pinakamabuting kalagayan sa pamamagitan ng pinakamatarik na paraan ng pagbaba ay ang mga sumusunod (Larawan 6.9), pagkatapos na matagpuan ang gradient ng na-optimize na function sa paunang punto at sa gayon ang direksyon ng pinakamabilis na pagbaba nito sa tinukoy na punto ay natutukoy, isang pababang hakbang ang ginagawa sa direksyong ito. Kung ang halaga ng function ay bumaba bilang isang resulta ng hakbang na ito, pagkatapos ay isa pang hakbang ang gagawin sa parehong direksyon, at iba pa hanggang sa isang minimum ay matatagpuan sa direksyon na ito, pagkatapos kung saan ang gradient ay kinakalkula muli at isang bagong direksyon ng pinakamabilis. natutukoy ang pagbaba ng layunin ng function.

Mga pamamaraan na walang gradient para sa paghahanap ng extremum. Ang mga pamamaraan na ito, hindi tulad ng mga gradient, ay ginagamit sa proseso ng paghahanap ng impormasyon na nakuha hindi mula sa pagsusuri ng mga derivatives, ngunit mula sa paghahambing na pagtatasa ang halaga ng pinakamainam na pamantayan bilang resulta ng pagsasagawa ng susunod na hakbang.

Ang mga pamamaraan na walang gradient para sa paghahanap ng extremum ay kinabibilangan ng:

1. paraan ng golden ratio

2. paraan gamit ang mga numerong Fibonium

3. Gaus-Seidel method (paraan ng pagkuha ng pagbabago sa isang variable)

4. paraan ng pag-scan, atbp.