تضمن الإدارة التحكم الأمثل في النظام. أنظمة التحكم الآلي الأمثل. ترى ما هو "التحكم الأمثل" في القواميس الأخرى

بشكل عام، يتكون النظام الآلي من كائن تحكم ومجموعة من الأجهزة التي توفر التحكم في هذا الكائن. كقاعدة عامة، تتضمن هذه المجموعة من الأجهزة أجهزة القياس، وأجهزة التضخيم والتحويل، بالإضافة إلى المحركات. إذا قمنا بدمج هذه الأجهزة في رابط واحد (جهاز التحكم)، فإن المخطط التفصيلي للنظام يبدو كما يلي:

في النظام التلقائييتم توفير معلومات حول حالة الكائن الخاضع للتحكم إلى مدخلات جهاز التحكم من خلال جهاز القياس. تسمى هذه الأنظمة أنظمة التغذية الراجعة أو الأنظمة المغلقة. يشير غياب هذه المعلومات في خوارزمية التحكم إلى أن النظام مفتوح. سنصف حالة كائن التحكم في أي وقت المتغيرات
والتي تسمى إحداثيات النظام أو متغيرات الحالة. من الملائم اعتبارها إحداثيات - ناقل الحالة الأبعاد.

يوفر جهاز القياس معلومات حول حالة الكائن. إذا كان يعتمد على قياس المتجهات
يمكن العثور على قيم جميع الإحداثيات
ناقلات الدولة
، يقال أن النظام يمكن ملاحظته بالكامل.

يقوم جهاز التحكم بإنشاء إجراء تحكم
. يمكن أن يكون هناك العديد من إجراءات التحكم هذه، فهي تتشكل - ناقل التحكم في الأبعاد.

يتلقى إدخال جهاز التحكم إدخالاً مرجعيًا
. يحمل إجراء الإدخال هذا معلومات حول الحالة التي يجب أن تكون عليها الكائن. قد يتعرض كائن التحكم لتأثير مزعج
وهو ما يمثل حملاً أو اضطرابًا. عادةً ما يتم قياس إحداثيات كائن ما مع وجود بعض الأخطاء
، وهي عشوائية أيضًا.

مهمة جهاز التحكم هي تطوير إجراء التحكم هذا
بحيث تكون جودة عمل النظام الآلي ككل هي الأفضل إلى حد ما.

سننظر في كائنات التحكم التي يمكن التحكم فيها. أي أنه يمكن تغيير ناقل الحالة كما هو مطلوب عن طريق تغيير ناقل التحكم بالمقابل. سنفترض أن الكائن يمكن ملاحظته بالكامل.

على سبيل المثال، يتميز موقع الطائرة بستة إحداثيات حالة. هذا
- إحداثيات مركز الكتلة،
- زوايا أويلر، والتي تحدد اتجاه الطائرة بالنسبة لمركز الكتلة. يمكن تغيير وضع الطائرة باستخدام المصاعد، والتوجه، والجنيح، وتوجيه الدفع. وبالتالي يتم تعريف ناقل التحكم على النحو التالي:

- زاوية انحراف المصعد

- حسنًا

- الجنيح

- شعبية

ناقلات الدولة
وفي هذه الحالة يتم تعريفه على النحو التالي:

يمكنك طرح مشكلة اختيار عنصر تحكم يتم من خلاله نقل الطائرة من حالة أولية معينة
إلى حالة نهائية معينة
مع الحد الأدنى من التكاليفالوقود أو في أقل وقت ممكن.

ينشأ تعقيد إضافي في حل المشكلات الفنية بسبب حقيقة أنه، كقاعدة عامة، يتم فرض قيود مختلفة على إجراء التحكم وعلى إحداثيات الحالة لكائن التحكم.

هناك قيود على أي زاوية للمصاعد، والانعراج، والجنيحات:

- الجر نفسه محدود.

تخضع إحداثيات الحالة لكائن التحكم ومشتقاتها أيضًا لقيود مرتبطة بالأحمال الزائدة المسموح بها.

سننظر في كائنات التحكم الموصوفة بالمعادلة التفاضلية:

(1)

أو في شكل ناقل:

--ناقل الأبعاد لحالة الكائن

--ناقل الأبعاد لإجراءات التحكم

- دالة الجانب الأيمن من المعادلة (1)

إلى ناقل التحكم
تم فرض قيود، وسوف نفترض أن قيمها تنتمي إلى بعض المناطق المغلقة بعض -مساحة الأبعاد. وهذا يعني أن الوظيفة التنفيذية
ينتمي إلى المنطقة في أي وقت (
).

على سبيل المثال، إذا كانت إحداثيات دالة التحكم تلبي المتباينات:

ثم المنطقة يكون -مكعب قياس.

دعونا نسمي أي دالة متصلة متعددة التعريف بأنها تحكم مقبول
، والتي قيمها في كل لحظة من الزمن ينتمي إلى المنطقة والتي قد يكون لها انقطاعات من النوع الأول. لقد اتضح أنه حتى في بعض مشاكل التحكم الأمثل، يمكن الحصول على الحل في فئة التحكم المستمر الجزئي. لاختيار السيطرة
كدالة للوقت والحالة الأولية للنظام
والتي تحدد حركة جسم التحكم بشكل فريد، يشترط أن يحقق نظام المعادلات (1) شروط نظرية الوجود وتفرد الحل في المنطقة
. تحتوي هذه المنطقة على المسارات المحتملة لحركة الجسم ووظائف التحكم المحتملة.
. إذا كان مجال تباين المتغيرات محدبًا، فإنه يكفي لوجود الحل وتفرده أن تكون الدالة

. كانت مستمرة في جميع الحجج ولها مشتقات جزئية مستمرة بالنسبة للمتغيرات

.

كمعيار يميز جودة تشغيل النظام، يتم تحديد وظيفة النموذج:

(2)

كوظيفة
سنفترض أنها مستمرة في جميع حججها ولها مشتقات جزئية متصلة فيما يتعلق

.

لتصميم نظام التحكم الآلي الأمثل، يلزم الحصول على معلومات كاملة حول المضخم التشغيلي والتأثيرات المزعجة والرئيسية، والحالات الأولية والنهائية للمضخم التشغيلي. بعد ذلك، تحتاج إلى تحديد معيار الأمثلية. يمكن استخدام أحد مؤشرات جودة النظام كمعيار. ومع ذلك، فإن متطلبات مؤشرات الجودة الفردية عادة ما تكون متناقضة (على سبيل المثال، يتم تحقيق زيادة دقة النظام عن طريق تقليل هامش الاستقرار). وبالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون للنظام الأمثل الحد الأدنى خطأ محتملليس فقط عند تنفيذ إجراء تحكم محدد، ولكن طوال فترة تشغيل النظام بأكملها. وينبغي أيضا أن يؤخذ في الاعتبار أن حل مشكلة التحكم الأمثل لا يعتمد فقط على هيكل النظام، ولكن أيضا على معلمات العناصر المكونة له.

يتم تحديد الأداء الأمثل لـ ACS إلى حد كبير من خلال كيفية تنفيذ التحكم بمرور الوقت، أو ما هو البرنامج، أو خوارزمية التحكم.في هذا الصدد، لتقييم الأمثلية للأنظمة، يتم استخدام معايير متكاملة، يتم حسابها كمجموع قيم معلمة جودة النظام التي تهم المصممين طوال فترة عملية التحكم.

اعتمادا على معيار الأمثلية المعتمدة، ونحن نعتبر الأنواع التاليةالأنظمة المثلى.

1. الأنظمة, الأمثل للأداء، والتي توفر الحد الأدنى من الوقت لنقل المرجع من حالة إلى أخرى. في هذه الحالة، يبدو معيار المثالية كما يلي:

حيث / n و / k هما لحظات بداية ونهاية عملية التحكم.

في مثل هذه الأنظمة، تكون مدة عملية التحكم ضئيلة. أبسط مثال هو نظام التحكم في المحرك الذي يوفر الحد الأدنى من الوقت للتسارع إلى سرعة معينة، مع مراعاة جميع القيود الحالية.

2. الأنظمة, الأمثل من حيث استهلاك المواردوالتي تضمن الحد الأدنى من المعايير

أين ل- معامل التناسب؛ ش (ر)- عمل السيطرة.

يضمن نظام إدارة المحرك هذا، على سبيل المثال، الحد الأدنى من استهلاك الوقود خلال فترة التحكم بأكملها.

3. الأنظمة, الأمثل من حيث خسائر السيطرة(أو الدقة)، والتي توفر الحد الأدنى من أخطاء التحكم بناءً على المعيار حيث e(f) هو الخطأ الديناميكي.

من حيث المبدأ، يمكن حل مشكلة تصميم نظام التحكم الآلي الأمثل بأبسط طريقة لحصر كل شيء الخيارات الممكنة. وبطبيعة الحال، تتطلب هذه الطريقة الكثير من الوقت، ولكن أجهزة الكمبيوتر الحديثة تجعل من الممكن استخدامها في بعض الحالات. لحل مشاكل التحسين، تم تطوير طرق خاصة لحساب التفاضل والتكامل (الطريقة القصوى، طريقة البرمجة الديناميكية، وما إلى ذلك)، والتي تجعل من الممكن مراعاة جميع قيود الأنظمة الحقيقية.

على سبيل المثال، دعونا نفكر في ما يجب أن يكون عليه التحكم الأمثل في السرعة لمحرك كهربائي يعمل بالتيار المستمر إذا كان الجهد المورد إليه محدودًا بقيمة الحد (/lr، ويمكن تمثيل المحرك نفسه كوصلة غير دورية من الدرجة الثانية (الشكل .13.9, أ).

الطريقة القصوى تسمح لك بحساب قانون التغيير ش (د)،ضمان الحد الأدنى من الوقت لتسريع المحرك حتى سرعة الدوران (الشكل 13.9، ب).يجب أن تتكون عملية التحكم في هذا المحرك من فترتين، في كل منهما الجهد ش (ر)يأخذ الحد الأقصى لقيمته المسموح بها (في الفاصل الزمني 0 - /،: ش (ر)= +?/ ex، في الفاصل الزمني /| - / 2: ش (ر)= -?/ pr)* لضمان هذا التحكم، يجب تضمين عنصر الترحيل في النظام.

مثل الأنظمة التقليدية، الأنظمة المثالية هي الحلقة المفتوحة، والحلقة المغلقة، والمدمجة. إذا كان التحكم الأمثل الذي ينقل المضخم التشغيلي من الحالة الأولية إلى الحالة النهائية ويكون مستقلاً أو يعتمد بشكل ضعيف على التأثيرات المزعجة يمكن تحديده كدالة للوقت ش= (/(/)، ثم نبني نظام الحلقة المفتوحةالتحكم في البرنامج (الشكل 13.10، أ).

تم تضمين البرنامج الأمثل P، المصمم لتحقيق الحد الأقصى من معيار الأمثلية المقبول، في جهاز برنامج PU. وفقا لهذا المخطط، يتم تنفيذ الإدارة

أرز. 13.9.

أ- مع جهاز تحكم مشترك؛ ب -مع وحدة تحكم ذات مستويين

جهاز

أرز. 13.10. مخططات الأنظمة المثلى: أ- يفتح؛ ب- مجموع

استخدام آلات يتم التحكم فيها رقميًا وروبوتات بسيطة، وإطلاق الصواريخ في المدار، وما إلى ذلك.

الأكثر تقدمًا، على الرغم من أنها الأكثر تعقيدًا أيضًا، هي النظم المثلى مجتمعة(الشكل 13.10، ب).في مثل هذه الأنظمة، تنفذ الحلقة المفتوحة التحكم الأمثل وفقًا لبرنامج معين، بينما تقوم الحلقة المغلقة، المُحسّنة لتقليل الأخطاء، بمعالجة انحراف معلمات الإخراج. وباستخدام حبل قياس الاضطراب /*، يصبح النظام ثابتًا فيما يتعلق بالمجموعة الكاملة من تأثيرات القيادة والمؤثرات المزعجة.

من أجل تنفيذ نظام التحكم المثالي هذا، من الضروري قياس جميع التأثيرات المزعجة بدقة وسرعة. ومع ذلك، فإن هذا الاحتمال ليس متاحا دائما. وفي كثير من الأحيان، لا يُعرف سوى بيانات إحصائية متوسطة عن التأثيرات المزعجة. في كثير من الحالات، خاصة في أنظمة التحكم عن بعد، حتى القوة الدافعة تدخل النظام مع الضوضاء. وبما أن التداخل هو، بشكل عام، عملية عشوائية، فمن الممكن التركيب فقط النظام الأمثل إحصائيامثل هذا النظام لن يكون الأمثل كلتنفيذ محدد لعملية التحكم، ولكنه سيكون في المتوسط ​​الأفضل لمجموعة تطبيقاتها بأكملها.

بالنسبة للأنظمة المثلى إحصائيا، يتم استخدام التقديرات الاحتمالية المتوسطة كمعايير الأمثلية. على سبيل المثال، بالنسبة لنظام التتبع المُحسّن للحد الأدنى من الأخطاء، يتم استخدام التوقع الرياضي للانحراف التربيعي لتأثير الإخراج عن القيمة المحددة كمعيار إحصائي لتحقيق الأمثلية، أي. التباين:

كما يتم استخدام معايير احتمالية أخرى. على سبيل المثال، في نظام اكتشاف الهدف، حيث يكون وجود الهدف أو عدمه هو المهم فقط، يتم استخدام احتمالية اتخاذ قرار خاطئ كمعيار الأمثلية روش:

أين ص ص ts هو احتمال فقدان الهدف؛ ص لو- احتمال الكشف الكاذب.

في كثير من الحالات، يتبين أن أنظمة التحكم الآلي الأمثل المحسوبة يكون من المستحيل عملياً تنفيذها بسبب تعقيدها. كقاعدة عامة، يلزم الحصول على قيم دقيقة للمشتقات عالية الترتيب من تأثيرات المدخلات، وهو أمر صعب التنفيذ من الناحية الفنية. في كثير من الأحيان، حتى التوليف النظري الدقيق للنظام الأمثل يتبين أنه مستحيل. ومع ذلك، فإن أساليب التصميم الأمثل تجعل من الممكن بناء أنظمة شبه مثالية، على الرغم من تبسيطها بدرجة أو بأخرى، ولكنها لا تزال تسمح بتحقيق قيم معايير الأمثلية المقبولة التي تكون قريبة من الحد الأقصى.

تعريف وضرورة بناء أنظمة التحكم الآلي الأمثل

عادة ما يتم تصميم أنظمة التحكم الآلي بناءً على المتطلبات لضمان مؤشرات جودة معينة. في كثير من الحالات، يتم تحقيق الزيادة اللازمة في الدقة الديناميكية وتحسين العمليات العابرة لأنظمة التحكم الآلي بمساعدة الأجهزة التصحيحية.

خصوصاً فرص وافرةيتم تحقيق تحسين مؤشرات الجودة من خلال إدخال قنوات تعويض ذات حلقة مفتوحة ووصلات تفاضلية في ACS، يتم تصنيعها من حالة أو أخرى من ثبات الخطأ فيما يتعلق بالتأثيرات الرئيسية أو المزعجة. ومع ذلك، فإن تأثير أجهزة التصحيح وقنوات التعويض المفتوحة والوصلات التفاضلية المكافئة على مؤشرات جودة ACS يعتمد على مستوى محدودية الإشارة بواسطة العناصر غير الخطية للنظام. تقتصر إشارات الخرج الخاصة بأجهزة التفريق، والتي عادة ما تكون قصيرة المدة وكبيرة السعة، على عناصر النظام ولا تؤدي إلى تحسين مؤشرات جودة النظام، ولا سيما سرعته. أعلى النتائجيوفر ما يسمى بالتحكم الأمثل حلاً لمشكلة زيادة مؤشرات الجودة لنظام التحكم الآلي في ظل وجود قيود في الإشارة.

تمت صياغة مشكلة تجميع الأنظمة المثالية بشكل صارم مؤخرًا نسبيًا، عندما تم تحديد مفهوم معيار الأمثلية. اعتمادا على هدف الإدارة، مختلف التقنية أو المؤشرات الاقتصاديةعملية تسيطر عليها. في الأنظمة المثالية، لا يتم ضمان مجرد زيادة طفيفة في واحد أو آخر من مؤشرات الجودة التقنية والاقتصادية، ولكن تحقيق الحد الأدنى أو الأقصى لقيمته الممكنة.

إذا كان معيار الأمثلية يعبر عن الخسائر الفنية والاقتصادية (أخطاء النظام، وقت عملية الانتقال، استهلاك الطاقة، الأموال، التكلفة، وما إلى ذلك)، فإن التحكم الأمثل سيكون هو الذي يوفر الحد الأدنى من معيار الأمثلية. إذا كان يعبر عن الربحية (الكفاءة، والإنتاجية، والربح، ومدى الصواريخ، وما إلى ذلك)، فإن التحكم الأمثل يجب أن يوفر الحد الأقصى من معيار الأمثلية.

مشكلة تحديد نظام التحكم الآلي الأمثل، ولا سيما تجميع المعلمات المثلى للنظام عند استلام السيد عند مدخلاته

تم تناول التأثير والتداخل، وهما إشارات عشوائية ثابتة، في الفصل. 7. دعونا نتذكر ذلك في في هذه الحالةيتم أخذ جذر متوسط ​​مربع الخطأ (RMSE) كمعيار الأمثل. إن شروط زيادة دقة إعادة إنتاج الإشارة المفيدة (تحديد التأثير) وقمع التداخل متناقضة، وبالتالي تنشأ مهمة اختيار معلمات النظام (المثلى) التي يأخذ فيها الانحراف المعياري أصغر قيمة.

يعد تجميع النظام الأمثل باستخدام معيار مربع الأمثلية مشكلة خاصة. طرق عامةويستند توليف النظم المثلى على حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات. ومع ذلك، فإن الأساليب الكلاسيكية لحساب التفاضل والتكامل لحل المشكلات العملية الحديثة التي تتطلب مراعاة القيود، في كثير من الحالات، تكون غير مناسبة. إن أكثر الطرق ملائمة لتجميع أنظمة التحكم الآلي المثالية هي طريقة البرمجة الديناميكية لبيلمان ومبدأ بونترياجين الأقصى.

وبالتالي، إلى جانب مشكلة تحسين مؤشرات الجودة المختلفة لأنظمة التحكم الآلي، تنشأ مشكلة بناء أنظمة مثالية يتم فيها تحقيق القيمة القصوى لمؤشر أو آخر من مؤشرات الجودة التقنية والاقتصادية.

يساعد تطوير وتنفيذ أنظمة التحكم الآلي الأمثل على زيادة كفاءة استخدام وحدات الإنتاج وزيادة إنتاجية العمل وتحسين جودة المنتج وتوفير الطاقة والوقود والمواد الخام وما إلى ذلك.

مفاهيم حول حالة الطور ومسار الطور لجسم ما

في التكنولوجيا، غالبًا ما تنشأ مهمة نقل كائن (عملية) خاضع للرقابة من حالة إلى أخرى. على سبيل المثال، عند الاستهداف، تحتاج إلى هوائي محطة رادارقم بالتدوير من الوضع الأولي مع السمت الأولي إلى الموضع المحدد مع السمت، وللقيام بذلك، يتم توفير جهد التحكم للمحرك الكهربائي المتصل بالهوائي من خلال علبة التروس. في كل لحظة من الزمن، تتميز حالة الهوائي بالقيمة الحالية لزاوية الدوران والسرعة الزاوية، وتتغير هاتان الكميتان اعتمادًا على جهد التحكم و. وبالتالي، هناك ثلاث معلمات مترابطة و (الشكل 11.1).

تسمى الكميات التي تميز حالة الهوائي بإحداثيات الطور و- إجراء التحكم. عند تعيين هدف لرادار مثل محطة توجيه السلاح، تنشأ مهمة تدوير الهوائي في السمت والارتفاع. في هذه الحالة، سيكون لدينا إحداثيات الطور الأربعة للكائن وإجراءين للتحكم. بالنسبة للطائرة المحلقة، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار إحداثيات الطور الستة (ثلاثة إحداثيات مكانية وثلاثة مكونات للسرعة) والعديد من إجراءات التحكم (دفع المحرك، والكميات التي تميز موضع الدفة

أرز. 11.1. رسم تخطيطي لكائن مع إجراء تحكم واحد وإحداثيات مرحلتين.

أرز. 11.2. رسم تخطيطي للكائن مع إجراءات التحكم وإحداثيات المرحلة.

أرز. 11.3. رسم تخطيطي لكائن مع صورة متجهة لإجراء التحكم وحالة الطور للكائن

الارتفاع والاتجاه والجنيحات). في الحالة العامة، في كل لحظة من الزمن، تتميز حالة الكائن بإحداثيات الطور، ويمكن تطبيق إجراءات التحكم على الكائن (الشكل 11.2).

ينبغي فهم نقل كائن (عملية) خاضع للتحكم من حالة إلى أخرى ليس فقط على أنه حركة ميكانيكية (على سبيل المثال، هوائي الرادار، الطائرة)، ولكن أيضًا على أنه التغيير المطلوب في مختلف كميات فيزيائية: درجة الحرارة، الضغط، رطوبة المقصورة، التركيب الكيميائيمن مادة خام أو أخرى من خلال عملية تكنولوجية مناسبة يمكن التحكم فيها.

من الملائم اعتبار إجراءات التحكم بمثابة إحداثيات لمتجه معين يسمى ناقل إجراء التحكم. يمكن أيضًا اعتبار إحداثيات الطور (متغيرات الحالة) لكائن ما بمثابة إحداثيات متجه أو نقطة معينة في الفضاء ذي الأبعاد ذات الإحداثيات، وتسمى هذه النقطة بحالة الطور (متجه الحالة) للكائن، والفضاء ذو ​​الأبعاد تسمى حالات الطور التي يتم تصويرها كنقاط بمساحة الطور (مساحة الحالة) للكائن قيد النظر. عند استخدام الصور المتجهة، يمكن تصوير الكائن المتحكم فيه كما هو موضح في الشكل. 11.3، حيث و هو ناقل إجراء التحكم ويمثل نقطة في مساحة الطور التي تميز حالة الطور للكائن. تحت تأثير إجراء التحكم، تتحرك نقطة الطور، واصفًا خطًا معينًا في مساحة الطور، يسمى مسار الطور لحركة الكائن المدروسة.

تتعلق مشاكل التحكم الأمثل بنظرية المشاكل المتطرفة، أي مشاكل تحديد القيم القصوى والدنيا. حقيقة وجود عدة كلمات لاتينية في هذه العبارة (الحد الأقصى - الأعظم، الحد الأدنى - الأصغر، أقصى - أقصى، أوبتيموس - الأمثل) تشير إلى أن نظرية المشاكل المتطرفة كانت موضوع بحث منذ العصور القديمة. وقد كتب أرسطو (384-322 ق.م.)، وإقليدس (القرن الثالث ق.م.) وأرخميدس (287-212 ق.م.) عن بعض هذه المشكلات. تربط الأسطورة بين تأسيس مدينة قرطاج (825 قبل الميلاد) والمشكلة القديمة المتمثلة في تحديد منحنى المستوى المغلق الذي يحيط بأقصى مساحة ممكنة. وتسمى مثل هذه المشاكل متساوي القياس.

من السمات المميزة للمشاكل المتطرفة أن صياغتها نتجت عن المطالب الحالية لتنمية المجتمع. علاوة على ذلك، بدءًا من القرن السابع عشر، أصبحت الفكرة السائدة هي أن قوانين العالم من حولنا هي نتيجة لبعض المبادئ المتغيرة. كان أولها مبدأ P. Fermat (1660)، والذي بموجبه يجب أن يكون مسار الضوء المنتشر من نقطة إلى أخرى بحيث يكون وقت مرور الضوء على طول هذا المسار قصيرًا قدر الإمكان. بعد ذلك، تم اقتراح العديد من المبادئ المتغيرة المستخدمة على نطاق واسع في العلوم الطبيعية، على سبيل المثال: مبدأ العمل الثابت لـ U.R. هاميلتون (1834)، مبدأ الحركات الافتراضية، مبدأ الإكراه الأقل، وما إلى ذلك. وفي الوقت نفسه، تم تطوير طرق حل المشكلات المتطرفة. حوالي عام 1630، صاغ فيرما طريقة لدراسة الحد الأقصى لكثيرات الحدود، والتي تتمثل في حقيقة أن المشتق عند النقطة القصوى يساوي الصفر. بالنسبة للحالة العامة، تم الحصول على هذه الطريقة من قبل I. Newton (1671) وG.V. لايبنيز (1684)، الذي تمثل أعماله ولادة التحليل الرياضي. تعود بداية تطوير حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي للاختلافات إلى ظهور مقال بقلم آي بيرنولي (طالب لايبنيز) في عام 1696، والذي صاغ صياغة مشكلة المنحنى الذي يربط بين النقطتين A و B، ويتحرك على طول والتي من النقطة أ إلى ب تحت تأثير الجاذبية ستصل نقطة مادية إلى النقطة ب في أقصر وقت ممكن.

في إطار حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي للاختلافات في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، تم إنشاء الشروط اللازمة لحد أقصى من الدرجة الأولى (L. Euler، J.L. Lagrange)، وتم تطوير الشروط الضرورية والكافية لاحقًا من الدرجة الثانية ( تم إنشاء نظرية هاميلتون-جاكوبي ونظرية المجال (D. Gilbert، A. Kneser). مزيد من التطويرأدت نظرية المشكلات القصوى في القرن العشرين إلى إنشاء البرمجة الخطية والتحليل المحدب والبرمجة الرياضية ونظرية الحد الأدنى وبعض المجالات الأخرى، ومن بينها نظرية التحكم الأمثل.

نشأت هذه النظرية، مثل المجالات الأخرى لنظرية المشكلات المتطرفة، فيما يتعلق بالمشاكل الحالية للتحكم الآلي في أواخر الأربعينيات (التحكم في مصعد في منجم لإيقافه في أسرع وقت ممكن، التحكم في حركة الصواريخ، تثبيت الطاقة محطات الطاقة الكهرومائية، الخ). لاحظ أن عبارات المشكلات الفردية التي يمكن تفسيرها على أنها مشكلات تحكم مثالية قد تمت مواجهتها سابقًا، على سبيل المثال، في "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية" لنيوتن (1687). يتضمن هذا أيضًا مشكلة ر. جودارد (1919) المتمثلة في رفع صاروخ إلى ارتفاع معين بأقل استهلاك للوقود ومشكلتها المزدوجة المتمثلة في رفع الصاروخ إلى ارتفاع معين أقصى ارتفاعلكمية معينة من الوقود. في الآونة الأخيرة، تم وضع المبادئ الأساسية لنظرية التحكم الأمثل: المبدأ الأقصى وطريقة البرمجة الديناميكية.

تمثل هذه المبادئ تطورًا في حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي للتغيرات لدراسة المشكلات التي تحتوي على قيود تحكم معقدة.

الآن تمر نظرية التحكم الأمثل بفترة من التطور السريع، سواء بسبب وجود مشاكل رياضية صعبة ومثيرة للاهتمام، أو بسبب وفرة التطبيقات، بما في ذلك في مجالات مثل الاقتصاد، وعلم الأحياء، والطب، الطاقة النوويةوإلخ.

جميع مسائل التحكم الأمثل يمكن اعتبارها مسائل برمجة رياضية، وبهذا الشكل يمكن حلها باستخدام الطرق العددية.

مع التحكم الأمثل في الأنظمة الهرمية متعددة المستويات، على سبيل المثال، الكبيرة الإنتاج الكيميائيوالمعادن و مجمعات الطاقة، يتم استخدام أنظمة تحكم هرمية متعددة الأغراض ومتعددة المستويات. يتم إدخال معايير جودة الإدارة لكل مستوى إداري وللنظام بأكمله، بالإضافة إلى تنسيق الإجراءات بين مستويات الإدارة، في النموذج الرياضي.

إذا كان الكائن أو العملية الخاضعة للتحكم حتمية، فسيتم استخدام المعادلات التفاضلية لوصفها. الأكثر استخدامًا هي المعادلات التفاضلية العادية للنموذج. في النماذج الرياضية الأكثر تعقيدًا (للأنظمة ذات المعلمات الموزعة)، تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية لوصف الكائن. إذا كان الكائن المتحكم فيه عشوائيًا، فسيتم استخدام المعادلات التفاضلية العشوائية لوصفه.

إذا كان حل مشكلة التحكم الأمثل المحددة لا يعتمد بشكل مستمر على البيانات الأولية (مشكلة غير مطروحة)، فسيتم حل هذه المشكلة بطرق عددية خاصة.

يُطلق على نظام التحكم الأمثل القادر على تراكم الخبرة وتحسين عمله على هذا الأساس اسم نظام التحكم الأمثل للتعلم.

يختلف السلوك الحقيقي لكائن أو نظام دائمًا عن سلوك البرنامج بسبب عدم الدقة في الظروف الأولية، والمعلومات غير الكاملة حول الاضطرابات الخارجية التي تعمل على الكائن، وعدم الدقة في تنفيذ التحكم في البرنامج، وما إلى ذلك. ولذلك، لتقليل انحراف سلوك الكائن عن السلوك الأمثل، عادة ما يتم استخدام نظام التحكم الآلي.

في بعض الأحيان (على سبيل المثال، عند إدارة الأشياء المعقدة، مثل الفرن العالي في علم المعادن أو عند تحليل المعلومات الاقتصادية)، تحتوي البيانات الأولية والمعرفة حول الكائن الخاضع للرقابة عند تحديد مشكلة التحكم الأمثل على معلومات غير مؤكدة أو غامضة لا يمكن معالجتها بالطرق التقليدية الأساليب الكمية. في مثل هذه الحالات، يمكنك استخدام خوارزميات التحكم الأمثل بناءً على النظرية الرياضية للمجموعات الغامضة (التحكم الضبابي). يتم تحويل المفاهيم والمعرفة المستخدمة إلى شكل غامض، ويتم تحديد القواعد الغامضة لاشتقاق القرارات، ومن ثم يتم تحويل القرارات الغامضة مرة أخرى إلى متغيرات التحكم المادية.

التحكم الأمثل في العمليات (محاضرة)

خطة المحاضرة

1. المفاهيم الأساسية لإيجاد الحد الأقصى للدالة

2. تصنيف طرق التحكم الأمثل

1. المفاهيم الأساسية لإيجاد الحد الأقصى للدالة

غالبًا ما تكون أي صياغة رياضية لمشكلة مثالية مساوية أو مكافئة لمشكلة إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغير واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة. ولذلك، لحل مثل هذه المشاكل الأمثل يمكن استخدامها أساليب مختلفةالبحث عن أقصى.

بشكل عام، يتم صياغة مشكلة التحسين على النحو التالي:

ابحث عن خارج الدالة R (x)، حيث XX

R (x) - تسمى الوظيفة أو الوظيفة الموضوعية أو معيار التحسين أو الوظيفة المحسنة

X متغير مستقل.

وكما هو معروف يمكن الحصول على الشروط اللازمة لوجود أقصى للدالة المستمرة R (x) من تحليل المشتق الأول. في هذه الحالة، يمكن أن تحتوي الدالة R (x) على قيم متطرفة لمثل هذه القيم للمتغير المستقل X، حيث يكون المشتق الأول يساوي 0. أي =0. بيانياً، إذا كان المشتق صفراً، فهذا يعني أن مماس المنحنى R(x) عند هذه النقطة يوازي الإحداثي السيني.

المشتقة =0 تساوي شرط ضروريأقصى.

لكن مساواة المشتقة بالصفر لا تعني وجود حد أقصى عند هذه النقطة. ومن أجل التأكد أخيرًا من وجود حد متطرف بالفعل في هذه المرحلة، من الضروري إجراء بحث إضافي يتكون من الطرق التالية:

1. طريقة لمقارنة قيم الوظائف

تتم مقارنة قيمة الدالة R (x) عند النقطة القصوى "المشتبه بها" X K مع قيمتين متجاورتين للدالة R (x) عند النقطتين X K-ε و X K+ε، حيث ε صغيرة قيمة إيجابية. (الصورة 2)

إذا تبين أن القيمتين المحسوبتين لـ R (X K+ε) و R (X K-ε) أقل أو أكبر من R (X K)، فعند النقطة X K يوجد حد أقصى أو أدنى للدالة R (خ).

إذا كانت R (X K) لها قيمة متوسطة بين R (X K-ε) وR (X K+ε)، فإن الدالة R (x) ليس لها حد أقصى ولا حد أدنى.

2. طريقة مقارنة علامات المشتقات

دعونا نفكر مرة أخرى في الدالة R (X K) بالقرب من النقطة X K، أي. X K+ε وX K-ε. بهذه الطريقة تؤخذ إشارة المشتق في محيط النقطة X K بعين الاعتبار، وإذا كانت إشارات المشتق عند النقطتين X K-ε وX K + ε مختلفة، فإن هناك حدًا أقصى عند النقطة X K. وفي هذه الحالة يمكن معرفة نوع الحد الأقصى (min أو max) عن طريق تغيير إشارة المشتق عند الانتقال من النقطة X K-ε إلى النقطة X K+ε.

إذا تغيرت الإشارة من "+" إلى "-"، عند النقطة X K يوجد حد أقصى (الشكل 3 ب)، إذا كان على العكس من "-" إلى "+"، فهناك حد أدنى. (الشكل 3 أ)

3. طريقة لدراسة علامات المشتقات العليا.

تُستخدم هذه الطريقة في الحالات التي توجد فيها عند النقطة "المشتبه بها" في أقصى الحدود مشتقات ذات رتب أعلى، أي. الدالة R (X K) ليست مستمرة في حد ذاتها فحسب، بل لها أيضًا مشتقات مستمرة و.

وتتلخص الطريقة في ما يلي:

عند هذه النقطة اكس ك"المشتبه به" إلى أقصى الحدود، وهذا صحيح

يتم حساب قيمة المشتق الثاني.

إذا في نفس الوقت ، عند النقطة X K هو الحد الأقصى،

لو ، عند النقطة X K هو الحد الأدنى.

عند حل مشاكل التحسين العملية، من الضروري العثور على ليس بعض القيمة الدنيا أو القصوى للدالة R (X K)، ولكن القيمة الأكبر أو الأصغر لهذه الوظيفة، والتي تسمى الحد الأقصى العالمي. (الشكل 4)

في الحالة العامة، تتمثل مشكلة التحسين في إيجاد الحد الأقصى للدالة R (X)، في ظل وجود قيود معينة على معادلات النموذج الرياضي.

إذا كانت R (X) خطية، وتم تحديد منطقة الحلول الممكنة من خلال المساواة الخطية وعدم المساواة، فإن مشكلة العثور على الحدود القصوى للدالة تنتمي إلى فئة مشاكل البرمجة الخطية.

في كثير من الأحيان يتم تعريف المجموعة X على أنها نظام من الوظائف

إذن تبدو العبارة الرياضية لمسألة البرمجة الخطية كما يلي:

إذا لم تكن الدالة الهدف R (X) أو أي من القيود دالة خطية، فإن مهمة العثور على الحد الأقصى للدالة R (X) تنتمي إلى فئة مشاكل البرمجة غير الخطية.

إذا لم يتم فرض أي قيود على المتغيرات X، فإن مثل هذه المشكلة تسمى مشكلة متطرفة غير مشروطة.

مثال مهمة نموذجيةتحسين

مشكلة حول صندوق الحجم الأقصى.

من هذا الفراغ، يجب قطع أربعة مربعات متساوية عند زواياها، وينبغي ثني الشكل الناتج (الشكل 5 ب) لتشكيل صندوق بدون غطاء علوي (الشكل 6.5 ج). في هذه الحالة، من الضروري اختيار حجم المربعات المقطوعة بحيث تحصل على صندوق بأقصى حجم.

باستخدام هذه المشكلة كمثال، يمكننا توضيح جميع عناصر تحديد مشاكل التحسين.

أرز. 5. مخطط لتصنيع صندوق من فراغ مستطيل بحجم ثابت

وظيفة التقييم في هذه المشكلة هي حجم الصندوق المصنع. المشكلة هي اختيار حجم المربعات المراد قطعها. في الواقع، إذا كان حجم المربعات المقطوعة صغيرًا جدًا، فسيتم الحصول على صندوق عريض منخفض الارتفاع، مما يعني أن الحجم سيكون صغيرًا. من ناحية أخرى، إذا كان حجم المربعات المقطوعة كبيرًا جدًا، فسوف ينتهي بك الأمر بصندوق ضيق ارتفاع عاليمما يعني أن حجمه سيكون صغيرًا أيضًا.

في الوقت نفسه، يتأثر اختيار حجم المربعات المقطوعة بحدود حجم قطعة العمل الأصلية. في الواقع، إذا قمت بقطع المربعات مع جانب يساوي نصف جانب الشغل الأصلي، تصبح المهمة بلا معنى. كما لا يمكن أن يتجاوز جانب المربعات المقطوعة نصف جوانب قطعة العمل الأصلية، لأن هذا مستحيل لأسباب عملية. ويترتب على ذلك أن صياغة هذه المشكلة يجب أن تحتوي على بعض القيود.

الصيغة الرياضية لمشكلة الصندوق ذو الحجم الأقصى. لصياغة هذه المشكلة رياضيا، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار بعض المعلمات التي تميز الأبعاد الهندسية للمربع. ولهذا الغرض، سنكمل الصياغة الموضوعية للمشكلة بالمعايير المناسبة. لهذا الغرض، سننظر في مربع فارغ مصنوع من بعض المواد المرنة، التي يبلغ طول ضلعها L (الشكل 6). من هذا الفراغ، يجب عليك قطع أربعة مربعات متساوية مع جانب في زواياها، وثني الشكل الناتج بحيث تحصل على صندوق بدون غطاء علوي. وتتمثل المهمة في تحديد حجم المربعات المقطوعة بحيث تكون النتيجة مربعًا بأقصى حجم.

أرز. 6. مخطط التصنيع من فراغ مستطيل يوضح أبعاده

لصياغة هذه المشكلة رياضيا، من الضروري تحديد متغيرات مشكلة التحسين المقابلة، وتعيين الدالة الهدف وتحديد القيود. كمتغير، يجب أن نأخذ طول جانب المربع المقطوع r، والذي في الحالة العامة، بناءً على صياغة ذات معنى للمشكلة، يأخذ قيمًا حقيقية مستمرة. الوظيفة الهدف هي حجم المربع الناتج. بما أن طول ضلع قاعدة الصندوق يساوي: L - 2r، وارتفاع الصندوق يساوي r، فيمكن إيجاد حجمه بالصيغة: V (r) = (L -2r) 2 ص. بناءً على الاعتبارات الفيزيائية، لا يمكن أن تكون قيم المتغير r سالبة وتتجاوز نصف حجم قطعة الشغل الأصلية L، أي. 0.5 لتر.

بالنسبة لقيم r = 0 و r = 0.5 L، يتم التعبير عن الحلول المقابلة لمشكلة الصندوق. في الواقع، في الحالة الأولى، تظل قطعة العمل دون تغيير، ولكن في الحالة الثانية يتم تقطيعها إلى 4 أجزاء متطابقة. وبما أن هذه الحلول لها تفسير مادي، فإن مشكلة الصندوق، لسهولة صياغتها وتحليلها، يمكن اعتبارها تحسينًا مع قيود مثل المتباينات غير الصارمة.

ولغرض التوحيد، نشير إلى المتغير بـ x = r، وهو ما لا يؤثر على طبيعة مشكلة التحسين التي يتم حلها. بعد ذلك يمكن كتابة الصيغة الرياضية لمشكلة الصندوق ذو الحجم الأقصى بالشكل التالي:

حيث (1)

الوظيفة الموضوعية لهذه المشكلة غير خطية، وبالتالي فإن مشكلة الصندوق أكبر مقاسينتمي إلى فئة البرمجة غير الخطية أو مشاكل التحسين غير الخطية.

2. تصنيف طرق التحكم الأمثل

يتمثل تحسين العملية في العثور على الأمثل للوظيفة المعنية أو الظروف المثلىتنفيذ هذه العملية.

لتقييم الأمثل، أولا وقبل كل شيء، من الضروري تحديد معيار التحسين. عادة، يتم تحديد معيار التحسين من شروط محددة. يمكن أن يكون هذا معيارًا تكنولوجيًا (على سبيل المثال، محتوى النحاس في خبث التفريغ) أو معيارًا اقتصاديًا (الحد الأدنى لتكلفة المنتج عند إنتاجية عمل معينة)، وما إلى ذلك. واستنادًا إلى معيار التحسين المحدد، يتم تجميع وظيفة موضوعية تمثل اعتماد معيار التحسين على المعلمات التي تؤثر على قيمته. تكمن مشكلة التحسين في العثور على الحد الأقصى دالة الهدف. اعتمادا على طبيعة النماذج الرياضية قيد النظر، يتم اعتماد أساليب التحسين الرياضي المختلفة.

الصيغة العامة لمشكلة التحسين هي كما يلي:

1. حدد معيارًا

2. يتم تجميع المعادلة النموذجية

3. يتم فرض نظام التقييد

4. الحل

النموذج - خطي أو غير خطي

قيود

اعتمادًا على هيكل النموذج، يتم استخدام طرق التحسين المختلفة. وتشمل هذه:

1. طرق التحسين التحليلي (البحث التحليلي عن أقصى الحدود، طريقة مضاعف لاغرانج، الطرق التفاضلية)

2. البرمجة الرياضية (البرمجة الخطية، البرمجة الديناميكية)

3. طرق التدرج.

4. الأساليب الإحصائية (تحليل الانحدار)

البرمجة الخطية. في مسائل البرمجة الخطية، يتم تقديم معيار الأمثلية على النحو التالي:

حيث يتم إعطاء معاملات ثابتة؛ متغيرات المهمة

المعادلات النموذجية هي معادلات خطية (متعددة الحدود) من النموذج التي تخضع لقيود في شكل المساواة أو عدم المساواة، أي. (2)

في مسائل البرمجة الخطية يفترض عادة أن جميع المتغيرات المستقلة X j غير سلبية، أي.

الحل الأمثل لمشكلة البرمجة الخطية هو مجموعة من القيم غير السالبة للمتغيرات المستقلة

والتي تستوفي الشروط (2) وتوفر، اعتمادًا على صياغة المشكلة، القيمة القصوى أو الدنيا للمعيار.

التفسير الهندسي هو: - المعيار في وجود قيود على المتغيرين X 1 و X 2 من نوع التساويات والمتباينات

R لها قيمة ثابتة على طول الخط l. حل مثاليسيكون عند النقطة S، لأن في هذه المرحلة سيكون المعيار هو الحد الأقصى، إحدى طرق حل مشكلة تحسين البرمجة الخطية هي الطريقة البسيطة.

البرمجة غير الخطية. الصيغة الرياضية لمسألة البرمجة غير الخطية هي كما يلي: أوجد الحد الأقصى للدالة الهدف ، والتي لها شكل اللاخطية.

يتم فرض قيود مختلفة مثل المساواة أو عدم المساواة على المتغيرات المستقلة

حاليًا، يتم استخدام عدد كبير جدًا من الأساليب لحل مشكلات البرمجة غير الخطية.

وتشمل هذه ما يلي: 1) طرق التدرج (طريقة التدرج، طريقة الهبوط الأكثر انحدارًا، طريقة الصورة، طريقة روزنبروك، وما إلى ذلك)

2) الطرق الخالية من التدرج (طريقة غاوس سايدل، طريقة المسح).

طرق تحسين التدرج

وتنتمي هذه الطرق إلى الطرق العددية لنوع البحث. جوهر هذه الطرق هو تحديد قيم المتغيرات المستقلة التي تعطي أكبر (أصغر) تغيير في الدالة الهدف. يتم تحقيق ذلك عادةً من خلال التحرك على طول متعامد متدرج إلى سطح الكفاف عند نقطة معينة.

دعونا نفكر في طريقة التدرج. تستخدم هذه الطريقة تدرجًا للوظيفة الهدف. في طريقة التدرج، يتم اتخاذ الخطوات في اتجاه أسرع انخفاض في وظيفة الهدف.

أرز. 8. إيجاد الحد الأدنى باستخدام طريقة التدرج

يتم البحث عن الأمثل على مرحلتين:

المرحلة الأولى: - إيجاد قيم المشتقات الجزئية لجميع المتغيرات المستقلة التي تحدد اتجاه الانحدار عند النقطة المعنية.

المرحلة الثانية: - يتم اتخاذ الخطوة في الاتجاه المعاكس لاتجاه الانحدار أي: في اتجاه أسرع انخفاض في وظيفة الهدف.

يمكن كتابة خوارزمية طريقة التدرج على النحو التالي:

(3)

طبيعة الحركة إلى المستوى الأمثل بطريقة الهبوط الأكثر انحدارًا هي كما يلي (الشكل 6.9)، بعد العثور على تدرج الدالة الأمثل عند النقطة الأولية وبالتالي يتم تحديد اتجاه أسرع انخفاض لها عند النقطة المحددة، يتم اتخاذ خطوة النسب في هذا الاتجاه. إذا انخفضت قيمة الدالة نتيجة هذه الخطوة، يتم اتخاذ خطوة أخرى في نفس الاتجاه، وهكذا حتى يتم العثور على الحد الأدنى في هذا الاتجاه، وبعد ذلك يتم حساب التدرج مرة أخرى واتجاه جديد للأسرع يتم تحديد انخفاض وظيفة الهدف.

طرق خالية من التدرج للبحث عن أقصى الحدود. هذه الأساليب، على عكس أساليب التدرج، تستخدم في عملية البحث المعلومات التي تم الحصول عليها ليس من تحليل المشتقات، ولكن من التقييم المقارن لقيمة معيار الأمثلية نتيجة لتنفيذ الخطوة التالية.

تتضمن الطرق الخالية من التدرج للبحث عن أقصى ما يلي:

1. طريقة النسبة الذهبية

2. الطريقة باستخدام أرقام الفيبونيوم

3. طريقة غاوس سايدل (طريقة الحصول على تغيير في متغير)

4. طريقة المسح، الخ.